MATHS-LYCEECalculer la dérivée de $f$ définie et dérivable sur $I$ dans les cas suivants
- $f(x)=e^{-3x}$ sur $I=\mathbb {R}$
Cas de la fonction $e^{u}$
La fonction $f$ définie sur $I$ par $f(x)=e^{u(x)}$ avec $u$ fonction dérivable sur $I$ est dérivable sur $I$ et $f'(x)=u'(x)e^{u(x)}$On pose $u(x)=-3x$ et $v(x)=e^x$$f$ est la composée de la fonction affine $x\longmapsto -3x$ et de la fonction exponentielle
On pose $u(x)=-3x$ et $v(x)=e^x$ et on a $f(x)=vou(x)$
$u'(x)=-3$ et $v'(x)=e^x$
$f'(x)=v'ou(x)\times u'(x)=e^{-3x}\times (-3)=-3e^{-3x}$
- $f(x)=3e^{x^2+1}$ sur $I=\mathbb {R}$
Cas de la fonction $e^{u}$
La fonction $f$ définie sur $I$ par $f(x)=e^{u(x)}$ avec $u$ fonction dérivable sur $I$ est dérivable sur $I$ et $f'(x)=u'(x)e^{u(x)}$On pose $u(x)=x^2+1$ et $v(x)=3e^x$$f$ est la composée de la fonction affine $x\longmapsto x^2+1$ et de la fonction exponentielle
On pose $u(x)=x^2+1$ et $v(x)=3e^x$ et on a $f(x)=vou(x)$
$u'(x)=2x$ et $v'(x)=3e^x$
$f'(x)=v'ou(x)\times u'(x)=3e^{x^2+1}\times (2x)=6xe^{x^2+1}$
- $f(x)=5e^{-x}+x$ sur $I=\mathbb {R}$
On pose $u(x)=-x$ et $v(x)=5e^x$$f$ est la composée de la fonction affine $x\longmapsto -x$ et de la fonction exponentielle à laquelle on ajoute $x$
On pose $u(x)=-x$ et $v(x)=5e^x$ et on a $f(x)=vou(x)+x$
$u'(x)=-1$ et $v'(x)=5e^x$
$f'(x)=v'ou(x)\times u'(x)+1=5e^{-x}\times (-1)+1=-5e^{-x}+1$
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Cours nº 1144
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Dérivées
- dérivées usuelles
- opérations sur les dérivées
- dérivée d'une fonction composée
- dérivée de exp(u)
- équation d'une tangente
infos cours
| 20-30mn
série 2 : Dérivée d'une fonction composée
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