On pose $u(x)=3x-1$ et $v(x)=e^x$ et on a $f(x)=vou(x)+x$
$u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $v$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
$u'(x)=3$ et $v'(x)=e^x$
$f'(x)=v'ou(x)\times u'(x)+1=e^{3x-1}\times 3=3e^{3x-1}+1$
$f'(x)=3e^{3x-1}+1$

$e^{3x-1}>0$ pour tout réel $x$
donc $3e^{3x-1}>0$ et donc $3e^{3x-1}+1>1>0$
donc $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$.