On pose $u(x)=10x$ et $v(x)=x^2+1$
et on a $u'(x)=10$ et $v'(x)=2x$
$f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{10(x^2+1)-10x(2x)}{(x^2+2)^2}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{10x^2+20-20x^2}{(x^2+2)^2}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{-10x^2+10}{(x^2+2)^2}$
$f'(x)=\dfrac{-10x^2+10}{(x^2+1)^2}$
Ne pas développer le dénominateur en vue de l'étude du signe de $f'(x)$.
$(x^2+1)^2>0$ donc $f'(x)$ est du même signe que $-10x^2+10$.
$-10x^2+10=0 \Longleftrightarrow 10(-x^2+1)=0$
$\phantom{-10x^2+10=0 } \Longleftrightarrow -x^2+1=0$
$\phantom{-10x^2+10=0 } \Longleftrightarrow x^2=1$
$\phantom{-10x^2+10=0} \Longleftrightarrow x=-1$ ou $x=1$

avec $f(-3)=\dfrac{10\times (-3)}{(-3)^2+1}=\dfrac{-30}{10}=-3$
$f(-1)=\dfrac{10\times (-1)}{(-1)^2+1}=\dfrac{-10}{2}=-5$
$f(1)=\dfrac{10\times 1}{1^2+1}=\dfrac{10}{2}=5$
$f(3)=\dfrac{10\times 3}{3^2+1}=\dfrac{30}{10}=3$
Remarques
- Dans $-10x^2+10$ on a $a=-10$, $b=0$ et $c=10$
donc on peut déterminer directement les racines sans calculer $\Delta$
sinon on trouve $\Delta=0^2-4\times (-10)\times 10=400$
- Avec la calculatrice CASIO graphique, penser à contrôler la dérivée obtenue (MENU TABLE puis Y1$=f(x)$ et Y2$=f'(x)$ et l'option DERIVATIVE sur ON voir vidéo contrôler une dérivée avec la calculatrice) et ensuite les racines obtenues avec le MENU EQUATION puis POLY et degré 2 en saisissant $a=-10$, $b=0$ et $c=10$

- Sur $[-3;-1]$:
Le maximum de $f$ est $f(-3)=-3$ donc $f(x)\leq f(-3)<3$
et l'équation $f(x)=3$ n'admet donc aucune solution.

- Sur $[-1;1]$
$f$ est continue et strictement croissante et on a $0$ compris entre $f(-1)=-5$ et $f(1)=5$
donc d'après le théorème de la valeur intermédiaire, l'équation $f(x)=3$ admet une unique solution.

- Sur $[1;3]$, le minimum de $f$ est $f(3)=3$ atteint en $x=3$
donc l'équation $f(x)=3$ admet une seule solution $x=3$.

L'équation $f(x)=3$ admet donc deux solutions $\alpha$ et $3$ avec $\alpha \in ]-1;1[$.

On veut donc $f(x)=3$.
D'après la question précédente, on sait qu'il y a deux points d'intersection d'abscisses $\alpha$ (à calculer) et $3$.
$f(x)=3 \Longleftrightarrow \dfrac{10x}{x^2+1}=3$
$\phantom{f(x)=3} \Longleftrightarrow 10x=3(x^2+1)$
$\phantom{f(x)=3} \Longleftrightarrow 10x=3(x^2+1)$
$\phantom{f(x)=3} \Longleftrightarrow 10x=3x^2+3$
$\phantom{f(x)=3} \Longleftrightarrow 0=3x^2-10x+3$
$\Delta=b^2-4ac=(-10)^2-4\times 3\times 3=100-36=64$
$\Delta>0$ donc il y a deux racines
$x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{10 + 8 }{6 }=3$
et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{10 - 8 }{ 6 }=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$
La courbe $C_f$ coupe la droite d'équation $y=3$ aux points d'abscisses $x_1=3$ et $x_2=\dfrac{1}{3}$ et d'ordonnée 3
La courbe $C_f$ coupe la droite d'équation $y=3$ aux points $A\left(\dfrac{1}{3};3\right)$ et $B(3;3)$.
Remarque
Contrôle des calculs en calculant les ordonnées:
$f(3)=3$(voir tableau)
$f\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{10\times \dfrac{1}{3}}{\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+1}$
$\phantom{f\left(\dfrac{1}{3}\right)}=\dfrac{\dfrac{10}{3}}{\dfrac{1}{9}+1}$
$\phantom{f\left(\dfrac{1}{3}\right)}=\dfrac{\dfrac{10}{3}}{\dfrac{10}{9}}$
$\phantom{f\left(\dfrac{1}{3}\right)}=\dfrac{10}{3}\times \dfrac{9}{10}$
$\phantom{f\left(\dfrac{1}{3}\right)}=\dfrac{9}{3}$
$\phantom{f\left(\dfrac{1}{3}\right)}=3$

$f(0)=\dfrac{10\times 0}{0^2+1}=0$
et $f'(0)=\dfrac{-10\times 0^2+10}{(0^2+1)^2}=\dfrac{10}{1}=10$
$y=f'(0)(x-0)+f(0)$
$\phantom{y}=10(x-0)+0$
$\phantom{y}=10x$
L'équation réduite de $T$ est $y=10x$

Le coefficient directeur de $T$ est $f'(0)=10$ et les points $A$ et $B$ sont les points d'intersection de $C_f$ et de la droite d'équation $y=3$

$f''(x)=\dfrac{20x^3-60x}{\left(x^2+1\right)^3} =\dfrac{20x(x^2-3)}{\left(x^2+1\right)^3}$
$(x^2+1)^3>0$ donc $f''(x)$ est du même signe que le numérateur.
$x^2-3=0 \Longleftrightarrow x^2=3 \Longleftrightarrow x=-\sqrt{3}$ ou $x=\sqrt{3}$

$f$ est donc convexe sur $[-3;-\sqrt{3}]\cup [0;\sqrt{3}$
La courbe admet un point d'inflexion quand la dérivée seconde s'annule et change de signe
donc les points de la courbes d'abscisses $-\sqrt{3}$, $0$ et $\sqrt{3}$ sont des points d'inflexion.
Complément avec le graphique
$f$ est convexe lorsque $C_f$ est au-dessus de ces tangentes et concave quand $C_f$ est en-dessous de ses tangentes.
Sur le graphique, les tangentes aux points d'inflexion sont tracées