On donne la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-6x^2+3$
  1. Calculer $f'(x)$ puis $f''(x)$

    Dérivées usuelles


    $f(x)=x^2-6x^2+3$
    $f'(x)=2x-6$
    $f''(x)=(f'(x))'=2$
  2. En déduire la convexité de $f$

    Signe de la dérivée seconde


    Soit $f$ définie et dérivable sur un intervalle I de $\mathbb{R}$
    si $f''(x)>0$ sur $I$ alors $f$ est convexe
    si $f''(x)<0$ sur $I$ alors $f$ est concave
    Il faut étudier le signe de $f~''(x)$
    $f''(x)=2$
    donc $f~''(x)>0$
    donc $f~'$ est strictement croissante sur $\mathbb {R}$


    $f$ est une fonction polynôme de degré 2
    donc la courbe représentative de $f$ est une parabole dont le sommet a pour abscisse $x_S=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{6}{1}=6$

    La courbe est bien au-dessus de ses tangentes.

    On peut aussi résumer l'étude ci-dessus avec un tableau:
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Cours nº 1146


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Convexité et dérivée seconde

- dérivée seconde
- convexité et signe de la dérivée seconde
- point d'inflexion

infos cours

| 15-20mn
série 7 : Convexité

Fiche méthode


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Lien entre dérivée seconde, dérivée et convexité

- convexité et variations de la dérivée
- convexité et signe de la dérivée seconde


infos: | mn |

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