MATHS-LYCEEDans chaque cas, étudier la convexité de $f$ définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ et préciser les points d'inflexion éventuels.
- $f(x)=-2e^x$
Signe de la dérivée seconde
Soit $f$ définie et dérivable sur un intervalle I de $\mathbb{R}$
si $f''(x)>0$ sur $I$ alors $f$ est convexe
si $f''(x)<0$ sur $I$ alors $f$ est concave$f'(x)=-2e^x$ et $f''(x)=-2e^x$
$e^x>0$ donc $f''(x)<0$
- $f(x)=e^{-3x}$
Cas de la fonction $e^{u}$
La fonction $f$ définie sur $I$ par $f(x)=e^{u(x)}$ avec $u$ fonction dérivable sur $I$ est dérivable sur $I$ et $f'(x)=u'(x)e^{u(x)}$Signe de la dérivée seconde
Soit $f$ définie et dérivable sur un intervalle I de $\mathbb{R}$
si $f''(x)>0$ sur $I$ alors $f$ est convexe
si $f''(x)<0$ sur $I$ alors $f$ est concave$f'(x)=-3e^{-3x}$ et $f''(x)=-3\times (-3)e^{-3x}=9e^{-3x}$
$e^{-x}>0$ donc $f''(x)>0$
- $f(x)=e^{2x}-2x^2-1$
$f'(x)=2e^{2x}-4x$ et $f''(x)=2\times 2e^{2x}+4=4e^{2x}-4$
$4e^{2x}-4>0$
$\Longleftrightarrow 4e^{2x}>4$
$\Longleftrightarrow e^{2x}>1$
$\Longleftrightarrow e^{2x}>e^0$
$\Longleftrightarrow 2x>0$
$\Longleftrightarrow x>0$
donc $f''(x)>0$ sur $]0;+\infty[$
donc $C_f$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse $0$ et d'ordonnée $f(0)=e^0-2\times 0^2+1=2$ (rappel $e^0=1$)
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Cours nº 1146
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Convexité et dérivée seconde
- dérivée seconde
- convexité et signe de la dérivée seconde
- point d'inflexion
infos cours
| 15-20mn
série 7 : Convexité
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