$e^{2x}+3e^x-4=0 \Longleftrightarrow (e^{x})^2+3e^x-4=0$
On pose $X=e^x$
et il faut résoudre alors l'équation $X^2+3X-4=0$
$\Delta=b^2-4ac=9-4\times 1\times (-4)=25$
$\Delta>0$ donc il y a deux racines:
$X_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-3-5}{2}=-4$ et $X_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-3+5}{2}=1$
On doit alors déterminer $x$ (rappel $X=e^x$):
$X=-4 \Longleftrightarrow e^x=-4$
Pour tout réel $x$, on a $e^x>0$ donc l'équation $e^x=-4$ n'admet aucune solution.
$X=1 \Longleftrightarrow e^x=1 \Longleftrightarrow x=0$ (rappel $e^0=1$)
L'ensemble de solution est $S=\left \lbrace 1 \right \rbrace $
Remarque
On pouvait éviter de calculer $\Delta$ dans ce cas. En effet $1+3-4=0$
donc $X_1=1$ est une racine et le produit des racines $X_1X_2=\dfrac{c}{a}=-4$
Une erreur fréquente consiste à confondre $X$ et $x$. Pour éviter ceci, bien écrire $X_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$....et non $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$

$-3e^{x}+e^{-x}+2=0 \Longleftrightarrow -3e^{x}e^x+e^{-x}e^x+2e^x=0$ On multiplie les deux membres par $e^x$

$\phantom{-3e^{x}+e^{-x}+2=0} \Longleftrightarrow -3(e^x)^2+e^{-x+x}+2e^x=0$

$\phantom{-3e^{x}+e^{-x}+2=0} \Longleftrightarrow -3(e^x)^2+1+2e^x=0$ (rappel $e^0=1$)

$\phantom{-3e^{x}+e^{-x}+2=0} \Longleftrightarrow -3(e^x)^2+2e^x+1=0$
On pose $X=e^x$
et il faut résoudre alors l'équation $-3X^2+2X+1=0$
$\Delta=b^2-4ac=4-4\times (-3) \times 1=16$
$\Delta>0$ donc il y a deux racines:
$X_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2-4}{2}=-3$ et $X_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2+4}{2}=1$
On doit alors déterminer $x$:
$X=-3 \Longleftrightarrow e^x=-3$
Pour tout réel $x$, on a $e^x>0$ donc l'équation $e^x=-3$ n'admet aucune solution.
$X=1 \Longleftrightarrow e^x=1 \Longleftrightarrow x=0$ (rappel $e^0=1$)
L'ensemble de solution est $S=\left \lbrace 1 \right \rbrace $
Remarque
Comme à la question 1, on pouvait éviter de calculer $\Delta$ dans ce cas. En effet $-3+1+2=0$
donc $X_1=1$ est une racine et le produit des racines $X_1X_2=\dfrac{c}{a}=-3$