MATHS-LYCEE$ABCDEFGH$ est un cube.
- Construire le point $M$ et $N$ tels que $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BN}=3\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}$
produit d'un vecteur par un réel
Soit un réel $k\neq 0$ et un vecteur $\overrightarrow{u}\neq \overrightarrow{0}$
Le produit de $k$ par le vecteur $\overrightarrow{u}$ est le vecteur $k\overrightarrow{u}$ tel que:
1. $k\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{u}$ ont la même direction
2. $k\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{u}$ ont le même sens si $k>0$ et des sens contraires si $k <0$
3. $||k\overrightarrow{u}||=|k| \times ||\overrightarrow{u}||$
Si $k=0$ ou $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ alors $k\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$Construction de $M$ et $N$
- Montrer que les points $C$, $M$ et $N$ sont alignés.
Alignement et colinéarité
Trois points distincts $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.il faut montrer par exemple que $\overrightarrow{CN}=2\overrightarrow{MC}$$\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}$
donc $\overrightarrow{MC}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$
$\overrightarrow{BN}=3\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}$ (énoncé)
donc on a:
$\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BN}$
$\phantom{\overrightarrow{CN}}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}$
$\phantom{\overrightarrow{CN}}=-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}$
$\phantom{\overrightarrow{CN}}=2\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$
On a donc $2\overrightarrow{MC}=2(-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CN}$
donc les vecteurs $\overrightarrow{MC}$ et $\overrightarrow{CN}$ sont colinéaires
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Cours nº 1351
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Vecteurs de l'espace et colinéarité
- vecteurs dans l'espace
- vecteurs colinéaires
infos cours
| 15mn
série 2 : Vecteurs de l'espace
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