MATHS-LYCEE$ABCDS$ est une pyramide à base carrée de sommet $S$ et $I$, $J$, $K$ et $L$ sont les milieux respectifs de $[AB]$, $[BC]$, $CD]$ et $[DA]$.
$M$ est le point défini par la relation $\overrightarrow{SM}=\overrightarrow{SD}+3\overrightarrow{CJ}$.
- Faire ne figure et construire $M$.
produit d'un vecteur par un réel
Soit un réel $k\neq 0$ et un vecteur $\overrightarrow{u}\neq \overrightarrow{0}$
Le produit de $k$ par le vecteur $\overrightarrow{u}$ est le vecteur $k\overrightarrow{u}$ tel que:
1. $k\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{u}$ ont la même direction
2. $k\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{u}$ ont le même sens si $k>0$ et des sens contraires si $k <0$
3. $||k\overrightarrow{u}||=|k| \times ||\overrightarrow{u}||$
Si $k=0$ ou $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ alors $k\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$Construction de $M$
- Montrer que $J$, $M$ et $I$ sont alignés.
Alignement et colinéarité
Trois points distincts $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.On a $\overrightarrow{CJ}=)\overrightarrow{DI}$
On peut montrer que $\overrightarrow{JM}=2\overrightarrow{IJ}$$\overrightarrow{JM}=\overrightarrow{JS}+\overrightarrow{SM}$
$~~~~~~~~=\overrightarrow{JS}+\overrightarrow{SD}+3\overrightarrow{CJ}$
$~~~~~~~~=\overrightarrow{JD}+3\overrightarrow{CJ}$
$~~~~~~~~=\overrightarrow{JD}+\overrightarrow{CJ}+2\overrightarrow{CJ}$
$~~~~~~~~=\overrightarrow{CD}+2\overrightarrow{CJ}$
$~~~~~~~~=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB}$
$~~~~~~~~=\overrightarrow{CA}$
$\overrightarrow{JI}=\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{BJ}$
$\overrightarrow{JI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}$
$\overrightarrow{JI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}$
donc $2\overrightarrow{JI}=\overrightarrow{JM}$
donc $\overrightarrow{JI}$et $\overrightarrow{JM}$ sont colinéaires
On a $\overrightarrow{JI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{JM}$
donc $I$ est le milieu de $[JM]$.
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Cours nº 1351
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Vecteurs de l'espace et colinéarité
- vecteurs dans l'espace
- vecteurs colinéaires
infos cours
| 15mn
série 2 : Vecteurs de l'espace
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