MATHS-LYCEE$ABCDEFGH$ est un cube de côté $\alpha$.
$I$ est le point d'intersection de la droite $(EC)$ et du plan $(AFH)$.
- Calculer $\overrightarrow{EA}.\overrightarrow{AF}$, $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}$ et $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AF}$.
Produit scalaire avec les projetés orthogonaux
Soit $A$, $B$ et $C$ trois points ($A$ et $B$ distincts) et $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$
Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=0$ (soit $\widehat{BAC}$ aigu)
et $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=\pi$ (soit $\widehat{BAC}$ obtus)Orthogonalité et produit scalaire
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.Le projeté orthogonal de $F$ sur $(AE)$ est $E$.
Le projeté orthogonal de $F$ sur $(AB)$ est $B$
\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}$Le projeté orthogonal de $F$ sur $(AE)$ est $E$
donc $\overrightarrow{EA}.\overrightarrow{AF}=-\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AF}=-AE^2=-\alpha^2$
Le projeté orthogonal de $F$ sur $(AB)$ est $B$
$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}=AB^2=\alpha^2$
$\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{BC}.(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF})$
$\phantom{\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AF}}=\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BF}$
or $\overrightarrow{BC}$ est orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BF}$
$\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AF}=0$
- En déduire que les vecteurs $\overrightarrow{EC}$ et $\overrightarrow{AF}$ sont orthogonaux.
On peut décomposer $\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AF}$$\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}$
$\overrightarrow{EC}.\overrightarrow{AF}=(\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}).\overrightarrow{AF}$
$\phantom{\overrightarrow{EC}.\overrightarrow{AF}}=\overrightarrow{EA}.\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{BF}.\overrightarrow{AF}$
$\phantom{\overrightarrow{EC}.\overrightarrow{AF}}=-\alpha^2+\alpha^2+0$ (avec les résultats précédents)
$\phantom{\overrightarrow{EC}.\overrightarrow{AF}}=-\alpha^2+\alpha^2+0$
$\phantom{\overrightarrow{EC}.\overrightarrow{AF}}=0$
- Pour la suite, on admettra de même que les vecteurs $\overrightarrow{EC}$ et $\overrightarrow{AF}$ sont orthogonaux.
Montrer alors que $I$ est le projeté orthogonal de $E$ sur $(AFH)$.droite et plan orthogonaux
Une droite $(d)$ est orthogonale à un plan si et seulement si un vecteur directeur de $(d)$ est orthogonal à deux vecteurs directeurs de du plan.
Il faut montrer que $(EC)$ donc $(EI)$ est orthogonale à deux droites sécantes du plan $(AFH)$.$\overrightarrow{EC}$ est orthogonal aux vecteurs directeurs $\overrightarrow{AF}$ et $\overrightarrow{AH}$ du plan $(AFH)$
donc $(EC)$ est orthogonale à deux droites sécantes de $(AFH)$
donc $(EC)$ ou $(EI)$ est orthogonale au plan $(AFH)$ avec $I\in (AFH)$
- Montrer que les droites $(AI)$ et $(HF)$ sont orthogonales et que les droites $(HI)$ et $(AF)$ sont orthogonales.
On peut calculer $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{HF}$ en décomposant $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EI}$$\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{HF}=(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EI}).\overrightarrow{HF}$
$\phantom{\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{HF}}=\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{HF}+\overrightarrow{EI}.\overrightarrow{HF}$
$(AE)$ est orthogonale au plan $(EHF)$ donc à toute droite du plan $(EHF)$
donc à la droite $(HF)$ et $\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{HF}=0$
$(EI)$ est orthogonale au plan $(AFH)$ donc à toute droite du plan $(AFH)$
donc à la droite $(HF)$ et $\overrightarrow{EI}.\overrightarrow{HF}=0$
donc $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{HF}=0$
$\overrightarrow{HI}.\overrightarrow{AF}=(\overrightarrow{HE}+\overrightarrow{EI}).\overrightarrow{AF}$
$\phantom{\overrightarrow{HI}.\overrightarrow{AF}}=\overrightarrow{HE}.\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{EI}.\overrightarrow{AF}$
$(HE)$ est orthogonale au plan $(ABF)$ donc à toute droite du plan $(ABF)$
donc à la droite $(AF)$ et $\overrightarrow{HE}.\overrightarrow{AF}=0$
$(EI)$ est orthogonale au plan $(AFH)$ donc à toute droite du plan $(AFH)$
donc à la droite $(AF)$ et $\overrightarrow{EI}.\overrightarrow{AF}=0$
donc $\overrightarrow{HI}.\overrightarrow{AF}=0$
- En déduire la position du point $I$ dans le triangle $AFH$.
$I$ est donc le point d'intersection des hauteurs $(HI)$ et $(AI)$ dans $AFH$ et $AF=HF=AH$Dans le plan $(AFH)$ on a:
$(AI)\perp (HF)$ donc $(AI)$ est la hauteur issue de $A$ dans le triangle $AFH$ et $(HI)\perp (AF)$ donc $(HI)$ est la hauteur issue de $H$ dans le triangle $AFH$
donc $I$ est le point de concours des hauteurs du triangle $AFH$ et c'est donc l'orthocentre du triangle.
Comme $AF=FH=AH$ (diagonales des faces carrées) le triangle $AFH$ est équilatéral et donc $I$ est aussi le centre de gravité de $AFH$.
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Cours nº 1354
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Produit scalaire dans l'espace
- calcul du produit scalaire dans l'espace (les différentes expressions)
- produit scalaire et orthogonalité
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série 6 : Exercices de synthèse
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