L'espace est muni d'un repère $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$ et on donne les points $A(2;3;-1)$ et $B(-4;1;5)$ et le vecteur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2\\ -3\\ 4 \end{pmatrix} $
  1. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.

    Coordonnées d'un vecteur dans l'espace


    L'espace est muni d'un repère quelconque.
    Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$
    $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A\\ z_B-z_A \end{pmatrix} $
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=-4-2=-6\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=1-3=-2\\ z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=5-(-1)=6 \end{cases}$
  2. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{u}$.
    On calcule $x_{\overrightarrow{AB}}-2x_{\overrightarrow{u}}$....
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}-2x_{\overrightarrow{u}}=-6-2\times 2=-10\\ y_{\overrightarrow{AB}}-2y_{\overrightarrow{u}}=-2-2\times (-3)=4\\ z_{\overrightarrow{AB}}-2z_{\overrightarrow{u}}=6-2\times 4=-2 \end{cases}$
  3. Calculer les coordonnées du point $C$ tel que $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{u}$.
    Deux vecteurs sont égaux si leurs coordonnées sont égales
    $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{u}\Longleftrightarrow \begin{cases} x_C-x_A=x_{\overrightarrow{u}}\\ y_C-y_A=y_{\overrightarrow{u}}\\ z_C-z_A=z_{\overrightarrow{u}} \end{cases}$
    $\phantom{\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{u}}\Longleftrightarrow \begin{cases} x_C-2=2\\ y_C-3=-3\\ z_C-(-1)=4 \end{cases}$
    $\phantom{\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{u}}\Longleftrightarrow \begin{cases} x_C=4\\ y_C=0\\ z_C=3 \end{cases}$
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Cours nº 1391


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Coordonnées dans l'espace

- coordonnées d'un vecteur défini par deux points
- vecteurs colinéaires
- coordonnées du milieu et calcul de distances

infos cours

| 15mn
série 2 : Coordonnées d'un point et d'un vecteur, distances

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