MATHS-LYCEEL'espace est muni d'un repère $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$ et on donne les points $A(3;2;-1)$, $B(1;2;4)$ et $C(2;-3;2)$.
- Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
Coordonnées d'un vecteur dans l'espace
L'espace est muni d'un repère quelconque.
Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A\\ z_B-z_A \end{pmatrix} $$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=1-3=-2\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=2-2=0\\ z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=4-(-1)=5 \end{cases}$
- En déduire les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
$ABCD$ est un parallélogramme donc on doit avoir $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$$ABCD$ est un parallélogramme
$\Longleftrightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_C-x_D\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_C-y_D\\ z_{\overrightarrow{AB}}=z_C-z_D \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} -2=2-x_D\\ 0=-3-y_D\\ 5=2-z_D \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} x_D=4\\ y_D=-3\\ z_D=-3 \end{cases}$
- Calculer les coordonnées du point $I$ milieu de $[AC]$.
. $ \begin{cases} x_I=\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{5}{2}\\ y_I=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{-1}{2}\\ z_I=\dfrac{z_A+z_C}{2}=\dfrac{1}{2}\\ \end{cases}$
- Retrouver les coordonnées de $D$ en utilisant le point $I$.
Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leurs milieux$ABCD$ est un parallélogramme donc les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ se coupent en leurs milieux $I$.
$I$ milieu de $[BD]$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} x_I=\dfrac{x_B+x_D}{2}\\ y_I=\dfrac{y_B+y_D}{2}\\ z_I=\dfrac{z_B+z_D}{2}\\ \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} \dfrac{5}{2}=\dfrac{1+x_D}{2}\\ \dfrac{-1}{2}=\dfrac{2+y_D}{2}\\ \dfrac{1}{2}=\dfrac{4+z_D}{2}\\ \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} 5=1+x_D\\ -1=2+y_D\\ 1=4+z_D\\ \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} x_D=4\\ y_D=-3\\ z_D=-3\\ \end{cases}$
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Cours nº 1391
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Coordonnées dans l'espace
- coordonnées d'un vecteur défini par deux points
- vecteurs colinéaires
- coordonnées du milieu et calcul de distances
infos cours
| 15mn
série 2 : Coordonnées d'un point et d'un vecteur, distances
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