MATHS-LYCEEL'espace est muni d'un repère $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$ et on donne les points $A(1;-2;3)$, $B(0;4;1)$ et $C(3;-14;7)$.
- Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ puis du vecteur $\overrightarrow{AC}$.
Coordonnées d'un vecteur dans l'espace
L'espace est muni d'un repère quelconque.
Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A\\ z_B-z_A \end{pmatrix} $$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=0-1=-1\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=4-(-2)=6\\ z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=1-3=-2 \end{cases}$
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AC}}=x_C-x_A=3-1=2\\ y_{\overrightarrow{AC}}=y_C-y_A=-14-(-2)=-12\\ z_{\overrightarrow{AC}}=z_C-z_A=7-3=4 \end{cases}$
- En déduire que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
$A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.On a $-2\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -2\times (-1)\\ -2\times 6\\ -2\times (-2) \end{pmatrix} $ soit $-2\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 2\\ -12\\ 4 \end{pmatrix} $
donc $-2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$
donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires
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Cours nº 1391
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Coordonnées dans l'espace
- coordonnées d'un vecteur défini par deux points
- vecteurs colinéaires
- coordonnées du milieu et calcul de distances
infos cours
| 15mn
série 2 : Coordonnées d'un point et d'un vecteur, distances
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