L'espace est muni d'un repère $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$:
Dans chaque cas, déterminer une équation paramétrique de la droite $(AB)$
- $A(2;3,-1)$ et $B(1;5;-3)$
Représentation paramétrique d'une droite
Dans l'espace muni d'un repère, la droite passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}(u_1;u_2;u_3)$ a pour représentation paramétrique $ \begin{cases} x=x_A+tu_1\\ y=y_A+tu_2\\ z=z_A+tu_3 \end{cases}$$\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de $(AB)$
$M(x;y;z)$ appartient à la droite $(AB)$ si $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires.$\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de la droite $(AB)$.
Soit $M(x;y;z)$ un point de $(AB)$, les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires.
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=1-2=-1\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=5-3=2\\ z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=-3-(-1)=-2 \end{cases}$
donc $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -1\\ 2\\ -2 \end{pmatrix} $
On a donc $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}$ avec $t\in \mathbb{R}$.
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AM}}=x_M-x_A=x-2\\ y_{\overrightarrow{AM}}=y_M-y_A=y-3\\ z_{\overrightarrow{AM}}=z_M-z_A=z-(-1)=z+1 \end{cases}$
donc $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x-2\\ y-3\\ z+1 \end{pmatrix} $
$\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{u}\Longleftrightarrow \begin{cases} x-2=-t\\ y-3=2t\\ z+1=-2t \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x=2-t\\ y=3+2t\\ z=-1-2t \end{cases}$
On peut aussi écrire directement le système d'équations:
$\begin{cases} x=x_A+tx_{\overrightarrow{AB}}\\ y=y_A+ty_{\overrightarrow{AB}}\\ z=z_A+tz_{\overrightarrow{AB}} \end{cases}$ - $A(-2;4,3)$ et $B(1;4;1)$
$\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de $(AB)$$\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de la droite $(AB)$.
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=1-(-2)=3\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=4-4=0\\ z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=1-3=-2 \end{cases}$
donc $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -1\\ 2\\ -2 \end{pmatrix} $
Soit $M(x;y;z)$ un point de $(AB)$ et $t\in \mathbb{R}$
$\begin{cases} x=x_A+tx_{\overrightarrow{AB}}=-2+3t\\ y=y_A+ty_{\overrightarrow{AB}}=4+0t=4\\ z=z_A+tz_{\overrightarrow{AB}}=3-2t \end{cases}$
L'ordonnée de $M$ ne dépend pas de $t$ car on a $y=4$ et cela signifie que la droite est parallèle au plan défini par le point $O$ et les vecteurs $\overrightarrow{i}$ et $\overrightarrow{k}$.
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Cours nº 1392
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Représentation paramétrique d'une droite
- vecteur directeur d'une droite
- déterminer une représentation paramétrique
- droites parallèles et sécantes
infos cours
| 15mn
série 3 : Représdentation paramétrique d'une droite
Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Représentation paramétrique d'une droite
- vecteur directeur
- déterminer une représentation paramétrique
- déterminer si deux droites sont parallèles ou orthogonale
- calculer les coordonnées du point d'intersection de deux droites sécantes
infos: | 20-25mn |
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