L'espace est muni d'un repère $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$:
- Déterminer une équation paramétrique de la droite $(AB)$ avec $A(1;-3,-1)$ et $B(2;4;1)$
Coordonnées d'un vecteur dans l'espace
L'espace est muni d'un repère quelconque.
Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A\\ z_B-z_A \end{pmatrix} $$\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de $(AB)$$\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de la droite $(AB)$.
Soit $M(x;y;z)$ un point de $(AB)$, les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires.
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=2-1=1\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=4-(-3)=7\\ z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=1-(-1)=2 \end{cases}$
donc $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1\\ 7\\ 2 \end{pmatrix} $
On a donc $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}$ avec $t\in \mathbb{R}$.
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AM}}=x_M-x_A=x-1\\ y_{\overrightarrow{AM}}=y_M-y_A=y-(-3)=y+3\\ z_{\overrightarrow{AM}}=z_M-z_A=z-(-1)=z+1 \end{cases}$
donc $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x-1\\ y+3\\ z+1 \end{pmatrix} $
$\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{u}\Longleftrightarrow \begin{cases} x-1=t\\ y+3=7t\\ z+1=2t \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x=1+t\\ y=3+7t\\ z=-1+2t \end{cases}$
On peut aussi écrire directement le système d'équations:
$\begin{cases} x=x_A+tx_{\overrightarrow{AB}}\\ y=y_A+ty_{\overrightarrow{AB}}\\ z=z_A+tz_{\overrightarrow{AB}} \end{cases}$ - Le point $C(2;10; 2)$ appartient-il à la droite $(AB)$?
$C$ appartient à $(AB)$ s'il existe un réel $t$ tel que les coordonnées de $C$ vérifient le système d'équations paramétriques définissant $(AB)$.Un équation paramétrique de $(AB)$ est $\begin{cases} x=1+t\\ y=3+7t\\ z=-1+2t \end{cases}$ avec $t\in \mathbb{R}$ On a donc $x_C=1+t \Longleftrightarrow 2=1+t \Longleftrightarrow t=1$
Si $t=1$, on a $3+7t=10=y_C$ et $-1+2t=-1+2=1\neq z_C$
- La droite $(d)$ est définie par son équation paramétrique ci-dessous;
$\begin{cases} x=3-2t\\ y=1-14t\\ z=3-4t \end{cases}$ avec $t\in \mathbb{R}$
Montrer que les droites $(AB)$ et $(d)$ sont parallèles.Il faut déterminer les coordonnées d'un vecteur directeur de $(d)$
$(AB)$ et $(d)$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs directeurs de $(AB)$ et $(d)$ sont colinéaires$\begin{cases} x=3-2t\\ y=1-14t\\ z=3-4t \end{cases}$ est une équation paramétrique de $(d)$ donc le vecteur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -2\\-14\\-4\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $(d)$.
$-2\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -2\times 1\\ -2\times 7\\ -2\times 2 \end{pmatrix}$
donc $-2\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{u}$
donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires
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Cours nº 1392
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Représentation paramétrique d'une droite
- vecteur directeur d'une droite
- déterminer une représentation paramétrique
- droites parallèles et sécantes
infos cours
| 15mn
série 3 : Représdentation paramétrique d'une droite
Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Représentation paramétrique d'une droite
- vecteur directeur
- déterminer une représentation paramétrique
- déterminer si deux droites sont parallèles ou orthogonale
- calculer les coordonnées du point d'intersection de deux droites sécantes
infos: | 20-25mn |
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