1. Home
  2. chapitre 9 Coordonnées dans l'espace
  3. exercice corrigé nº1371
PDF reservé aux abonnés
Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne $A(2;1;3)$, $B(2;-1;5)$ et $C(3;1;4)$.
  1. Calculer $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

    Rappel de cours

    Coordonnées d'un vecteur dans l'espace

    L'espace est muni d'un repère quelconque.
    Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$
    $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A\\ z_B-z_A \end{pmatrix} $

    Produit scalaire dans un repère orthonormé de l'espace

    Dans un repère orthonormé de l'espace, on a les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}$.
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'$

    Solution

    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=2-2=0\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=-1-1=-2\\ z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=5-3=2 \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 0\\ -2\\ 2 \end{pmatrix} $
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AC}}=x_C-x_A=3-2=1\\ y_{\overrightarrow{AC}}=y_C-y_A=1-1=0\\ z_{\overrightarrow{AC}}=z_C-z_A=4-3=1 \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} $
    $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=x_{\overrightarrow{AB}}x_{\overrightarrow{AC}}+y_{\overrightarrow{AB}}y_{\overrightarrow{AC}}+z_{\overrightarrow{AB}}z_{\overrightarrow{AC}}$
    $\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=0\times 1+(-2)\times 0+2 \times 1$
    $\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=2$
  2. Calculer $AB$ et $AC$

    Rappel de cours

    Distance dans l'espace

    Si le repère de l'espace est orthonormé, la distance $AB$ est: $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$

    Aide

    On peut utiliser les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ calculées à la question 1

    Solution

    $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}=\sqrt{0^1+(-2)^2+2^1}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
    $AC=\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2+(z_C-z_A)^2}=\sqrt{1^1+0^2+1^1}=\sqrt{2}$
  3. En déduire la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$.

    Rappel de cours

    Produit scalaire avec les projetés orthogonaux

    Soit $A$, $B$ et $C$ trois points ($A$ et $B$ distincts) et $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$
    Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$:
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=0$ (soit $\widehat{BAC}$ aigu)
    et $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=\pi$ (soit $\widehat{BAC}$ obtus)

    Aide

    On peut utiliser le résultat de la question 1 et $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AC cos(\widehat{BAC})$

    Solution

    $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AC cos(\widehat{BAC})=2\sqrt{2}\sqrt{2}cos(\widehat{BAC})$
    Avec le résultat de la question 1, on a donc $2\sqrt{2}\sqrt{2}cos(\widehat{BAC})=2$
    donc $cos(\widehat{BAC})=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$
Attention les fonctions ci-dessous sont désactivées en mode "visiteur", créez un compte MATHS-LYCEE.FR (gratuit)
valider cet exercice
marquer cet exercice à revoir

Cours nº 1393


Vous pouvez retourner sur le cours après avoir vu cette vidéo.

Produit scalaire dans l'espace

- produit scalaire dans un repère
- orthogonalité et produit scalaire

infos cours

| 15mn
série 5 : Produit scalaire et coordonnées, orthogonalité dans l'espace

retour sur le cours

exercices semblables


Si vous souhaitez vous emtraîner un peu plus, nous vous conseillons ces exercices.
Produit scalaire et repère dans un cube
| 8-10mn |
Produit sdcalaire et vecteurs orthogonaux
| 8-10mn |