MATHS-LYCEEDans un repère orthonormé de l'espace, on donne $A(2;5;1)$, $B(-2;1;4)$ et $C(5;3;0)$.
- Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan.
Coordonnées d'un vecteur dans l'espace
L'espace est muni d'un repère quelconque.
Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A\\ z_B-z_A \end{pmatrix} $Il faut vérifier que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=-2-2=-4\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=1-5=-4\\ z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=4-1=3 \end{cases}$
donc $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} -4\\ -4\\ 3 \end{pmatrix} $
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AC}}=x_C-x_A=5-2=3\\ y_{\overrightarrow{AC}}=y_C-y_A=3-5=-2\\ z_{\overrightarrow{AC}}=z_C-z_A=0-1=-1 \end{cases}$
donc $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 3\\ -2\\ -1 \end{pmatrix} $
$2y_{\overrightarrow{AC}}=2\times (-2)=-4= y_{\overrightarrow{AB}}$
$2x_{\overrightarrow{AC}}=2\times 3=6\neq x_{\overrightarrow{AB}}$
donc il n'existe pas de réel $k$ tel que $k \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}$
donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires et $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés
- Vérifier que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}
2\\
1\\
4
\end{pmatrix}
$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$
Vecteur normal à un plan-équation cartésienne d'un plan
Dans l'espace muni d'un repère othonormé, $P$ est un plan de l'espace, un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal à $P$ est un vecteur directeur d'une droite orthogonale à $P$.
Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $P$ passant par $A$ et $P$ est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ vérifiant $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$.
$ax+by+cz+d=0$ est une équation cartésienne de $P$ de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}$Il faut vérifier que le vecteur normal $\overrightarrow{n}$ est orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$$\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}=2\times (-4)+1\times (-4)+4\times 3=-8-4+12=0$
$\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}=2\times 3+1\times (-2)+4\times (-1)=6-2-4=0$
donc le vecteur $\overrightarrow{n}$ est orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$
- En déduire une équation cartésienne de $(ABC)$.
Vecteur normal à un plan-équation cartésienne d'un plan
Dans l'espace muni d'un repère othonormé, $P$ est un plan de l'espace, un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal à $P$ est un vecteur directeur d'une droite orthogonale à $P$.
Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $P$ passant par $A$ et $P$ est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ vérifiant $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$.
$ax+by+cz+d=0$ est une équation cartésienne de $P$ de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}$Les coefficients de $x$, $y$ et $z$ dans $ax+by+cz+d=0$ sont donnés par les coordonnées d'un vecteur normal au plan $(ABC)$ et on détermine $d$ en utilisant les coordonnées du point $A$ par exemple$\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 4 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$
donc une équation cartésienne de $(ABC)$ est de la forme $2x+y+4z+d=0$.
$A\in (ABC) \Longleftrightarrow 2x_A+y_A+4z_A+d=0$
$\phantom{A\in (ABC)} \Longleftrightarrow 2\times 2+5+4\times 1+d=0$
$\phantom{A\in (ABC)} \Longleftrightarrow 4+5+4+d=0$
$\phantom{A\in (ABC)} \Longleftrightarrow d=-13$
Contrôler le résultat en remplaçant $x$, $y$ et $z$ par les coordonnées de $B$ et $C$ dans l'équation obtenue. - Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(DE)$ avec $D(1;3;-2)$ et $E(7;6;10)$.
La droite a pour vvecteur directeur $\overrightarrow{DE}$ (coefficients du paramètre $t$) et passe par $D$ (ou par $E$).$\begin{cases} x_{\overrightarrow{DE}}=x_D-x_E=7-1=6\\ y_{\overrightarrow{DE}}=y_D-y_E=6-3=3\\ z_{\overrightarrow{De}}=z_D-z_E=10-(-2)=12 \end{cases}$
donc $\overrightarrow{DE}\begin{pmatrix} 6\\ 3\\ 12 \end{pmatrix} $ est un vecteur directeur de la droite $(DE)$
$\begin{cases} x=x_D+x_{\overrightarrow{DE}}t=1+6t\\ y=y_D+y_{\overrightarrow{DE}}t=3+3t\\ z=z_D+z_{\overrightarrow{DE}}t=-2+12t \end{cases}$ avec $t\in \mathbb{R}$ est une représentation paramétrique de $(DE)$.
- Montrer que $(DE)$ est orthogonale au plan $(ABC)$ et déterminer les coordonnées du point d'intersection de $(DE)$ et du plan $P$.
droite et plan orthogonaux
Une droite $(d)$ est orthogonale à un plan si et seulement si un vecteur directeur de $(d)$ est orthogonal à deux vecteurs directeurs de du plan.
Il faut vérifier qu'un vecteur directeur de $d$ et un vecteur normal au plan $P$ sont colinéaires.
Il faut écrire une équation d'inconnue $t$ en remplaçant dans l'équation de $P$ les expressions de $x$, $y$ et $z$ données avec la représentation paramétrique de $d$.$\overrightarrow{DE}\begin{pmatrix} 6\\ 3\\ 12 \end{pmatrix} $ est un vecteur directeur de la droite $(DE)$ et $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 4 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$
$3\times x_{\overrightarrow{n}}=3\times 2=6=x_{\overrightarrow{DE}}$
$3\times y_{\overrightarrow{n}}=3\times 1=3=y_{\overrightarrow{DE}}$
$3\times z_{\overrightarrow{n}}=3\times 4=12=z_{\overrightarrow{DE}}$
donc $3\overrightarrow{n}=\overrightarrow{DE}$
donc $\overrightarrow{DE}$ vecteur directeur de $d$ et$\overrightarrow{n}$ vecteur normal au plan $P$ sont colinéaires.
Le point d'intersection de $d$ et de $P$ doit vérifier $\begin{cases} x=1+6t\\ y=3+3t\\ z=-2+12t \end{cases}$ avec $t\in \mathbb{R}$ et $2x+y+4z-13=0$
En remplaçant $x$, $y$ et $z$ par leurs expressions en fonction de $t$ dans l'équation de $P$ on a:
$2(1+6t)+3+3t+4(-2+12t)-13=0 \Longleftrightarrow 2+12t+3+3t-8+48t-13=0$
$\phantom{2(1+6t)+3+3t+4(-2+12t)-13=0} \Longleftrightarrow -16+63t=0$
$\phantom{2(1+6t)+3+3t+4(-2+12t)-13=0} \Longleftrightarrow t=\dfrac{16}{63}$
On remplace ensuite $t=\dfrac{16}{63}$ dans la représentation paramétrique de $(DE)$:
$\begin{cases} x=1+6t=1+6\times \dfrac{16}{63}=1+\dfrac{32}{21}=\dfrac{53}{21}\\ y=3+3t=3+3\times \dfrac{16}{63}=3+\dfrac{16}{21}=\dfrac{79}{21}\\ z=-2+12t=-2+12\times \dfrac{16}{63}=-2+\dfrac{64}{21}=\dfrac{22}{21} \end{cases}$
Contrôler que les coordonnées de $I$ vérifient l'équation de $P$
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Cours nº 1403
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Équation d'un plan
- points coplanaires dans un repère
- vecteur normal à un plan
- équation d'un plan
infos cours
| 15mn
série 9 : Équation cartésienne d'un plan-points coplanaires
Fiche méthode
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Equation cartésienne d'un plan
- vecteur normal
- déterminer une équation d'un plan
- position relative d'une droite et d'un plan
- intersection de droites et plans
infos: | 15-20mn |
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