MATHS-LYCEERésoudre les équations ci-dessous dans $\mathbb{C}$.
- $z^2=4z-5$
Équations du second degré à coefficients réels
équation du second degré à coefficients réels
Discriminant: $\Delta=b^2-4ac$
- Si $\Delta \geq 0$, on résout dans $\mathbb{R}$
Si $\Delta >0 $ il y a 2 racines $z_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta <0$ alors on a deux racines complexes conjuguées:
$z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a}=\overline{z_1}$
;Il faut se ramener à une équations de la forme $az^2+bz+c=0$$z^2=4z-5 \Longleftrightarrow z^2-4z+5=0$
$\Delta=(-4)^2-4\times 1\times 5 =16-20=-4=(2i)^2$
$z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a}=\dfrac{4-2i}{2}=2-i$
$z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a}=\dfrac{4+2i}{2}=2+i$
Penser à contrôler le résultat avec la calculatrice et le menu équations - $z^3-3z^2+3z=0$
On peut factoriser par $z$$z^3-3z^2+3z=0 \Longleftrightarrow z(z^2-3z+3)=0 \Longleftrightarrow z=0$ ou $z^2-3z+3=0$
$\Delta=(-3)^2-4\times 1\times 3=9-12=-3=(i\sqrt{3})^2$
$z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a}=\dfrac{3-i\sqrt{3}}{2}$
$z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a}=\dfrac{3+i\sqrt{3}}{2}$
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Cours nº 1477
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Équations dans C
- équations avec des complexes
- équations du second degré
- factorisation d'un polynôme
- ensemble Un
infos cours
| 20-25mn
série 0 : Équations avec des complexes
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