$(-1-i)^2=(-1)^2+2\times (-1)\times (-i)+(-i)^2=1+2i-1=2i$
$(-1-i)^3=(-1-i)^2(-1-i)$
$\phantom{(-1-i)^3}=2i(-1-i)=-2i-2i^2=2-2i$

$P(-1-i)=(-1-i)^3+i(-1-i)^2-i(-1-i)+1+i$
$\phantom{P(-1-i)}=2-2i+i\times 2i+i+i^2+1+i$
$\phantom{P(-1-i)}=2-2i-2+i-1+1+i$
$\phantom{P(-1-i)}=3-3-2i+2i$
$\phantom{P(-1-i)}=0$
donc $P(-1-i)=0$

$P(z)=(z+1+i)(az^2+bz+c)$
$\phantom{P(z)}=az^3+bz^2+cz+az^2+bz+c+aiz^2+biz+ci$
$\phantom{P(z)}=az^3+bz^2+az^2+aiz^2+bz+cz+biz+c+ci$
$\phantom{P(z)}=az^3+(b+a+ai)z^2+(b+c+bi)z+c+ci$ et on a $P(z)=z^3+iz^2-iz+1+i$ donc par identification des coefficients on a:
$\begin{cases} a=1\\ b+a+i=i\\ b+c+bi=-i\\ c+ci=1+i \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} a=1\\ b=-a=-1\\ -1+c-i=-i\\ c(1+i)=1+i \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} a=1\\ b=-a=-1\\ c=1\\ c=1 \end{cases}$
donc $P(z)=(z+1+i)(z^2-z+1)$

$P(z)=0 \Longleftrightarrow (z+1+i)(z^2-z+1)=0\Longleftrightarrow z+1+i=0$ ou $z^2-z+1=0$
$z+1+i=0 \Longleftrightarrow z=-1-i$
Résolution de $z^2-z+1=0$
$\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4\times 1\times 1=1-4=-3$
$z_1=\dfrac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a}=\dfrac{ 1+i\sqrt{3} }{2 }$
et $z_2=\dfrac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a}= \dfrac{1-i\sqrt{3} }{2 }$
donc $P(z)=0$ admet trois solutions dans $\mathbb{Z}$.
$S=\left \lbrace \dfrac{1-i\sqrt{3} }{2 }; \dfrac{1+\sqrt{3} }{2 };-1-i\right \rbrace$
Remarque
Penser à contrôler avec la calculatrice MENU équations puis saisir les coefficients. Penser à passer en mode complexe (casio: SHIFT SETUP puis COMPLEXE MODE)