Déterminer l'écriture sous forme trigonométrique puis avec la notation exponentielle de $z$ dans chaque cas.
  1. $z=8-8i$

    Forme trigonométrique


    Soit $z=x+iY$ un complexe.
    Le module de $z$ noté $|z|$ est $|z|=OM=\sqrt{x^2+y^2}$.
    Si $z\neq 0$ l'argument de $z$ noté $arg(z)$ est une mesure en radians de l'angle $(\overrightarrow{i};\overrightarrow{OM})$}
    On a alors $x=|z|cos(arg(z))$ et $y=|z|sin(arg(z))$ soit $z=|z|(cos(arg(z)+isin(arg(z))$
    Cette forme est appelée forme trigonométrique} de $z$.
    Il faut calculer $|z|$
    $\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
    $|z|=\sqrt{8^2+(-8)^2}=\sqrt{64+64}=\sqrt{128}=8\sqrt{2}$
    $z=8\sqrt{2}\left(\dfrac{8}{8\sqrt{2}}-i\dfrac{8}{8\sqrt{2}}\right)$
    $\phantom{z}=8\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-i\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$
    donc si on note $\theta=arg(z)$ on a:
    $\begin{cases} cos(\theta)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ sin(\theta)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} cos(\theta)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ sin(\theta)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}$
    donc $\theta=\dfrac{-\pi}{4}$ ($2\pi$) (c'est à dire $\theta=-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$).

  2. $z=-1+i\sqrt{3}$
    Il faut calculer $|z|$
    $|z|=\sqrt{(-1)^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$
    $z=2\left(\dfrac{-1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$
    donc si on note $\theta=arg(z)$ on a:
    $\begin{cases} cos(\theta)=-\dfrac{1}{2}\\ sin(\theta)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} $
    donc $\theta=\dfrac{2\pi}{3}$ ($2\pi$) (c'est à dire $\theta=\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$).

  3. $z=5i$
    $z=5sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$
    donc $z=5\left(cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+isin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\right)$
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Cours nº 1478


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Affixe - forme trigonométrique

- affixe d'un point et d'un vecteur
- complexes et géométrie
- forme trigoométrique

infos cours

| 20-25mn
série 4 : Forme trigonométrique, module et argument

Fiche méthode


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Déterminer la forme trigonométrique

- calcul du module
- calcul de l'argument
- exemples


infos: | 15-20mn |

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