Déterminer l'écriture sous forme trigonométrique puis avec la notation exponentielle de $z$ dans chaque cas.
- $z=-3$
Forme trigonométrique
Soit $z=x+iY$ un complexe.
Le module de $z$ noté $|z|$ est $|z|=OM=\sqrt{x^2+y^2}$.
Si $z\neq 0$ l'argument de $z$ noté $arg(z)$ est une mesure en radians de l'angle $(\overrightarrow{i};\overrightarrow{OM})$}
On a alors $x=|z|cos(arg(z))$ et $y=|z|sin(arg(z))$ soit $z=|z|(cos(arg(z)+isin(arg(z))$
Cette forme est appelée forme trigonométrique} de $z$.Forme exponentielle
$z$ est un complexe d'argument $\alpha$
La forme exponentielle de $z$ est $z=|z|e^{i\alpha}$$z$ est réel donc s'écrit sous la forme $|z|cos(\alpha)$
$|z|=3$ donc $cos(\alpha)=-1$ soit $\alpha=\pi (2\pi)$
$z=3cos\left(\pi \right)$
donc $z=3\left(cos\left(\pi\right)+isin\left(\pi\right)\right)$
- $z=-2\sqrt{3}-2i$
Il faut calculer $|z|$$|z|=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+(-2)^2}=\sqrt{12+4}=\sqrt{16}=4$
$z=4\left(\dfrac{-2\sqrt{3}}{4}-i\dfrac{2}{4}\right)$
$\phantom{z}=4\left(\dfrac{-\sqrt{3}}{2}-i\dfrac{1}{2}\right)$
donc si on note $\theta=arg(z)$ on a:
$\begin{cases} cos(\theta)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ sin(\theta)=-\dfrac{1}{2} \end{cases}$
donc $\theta=\dfrac{-5\pi}{6}$ ($2\pi$) (c'est à dire $\theta=-\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$).
- $z=\dfrac{i-1}{4}$
$z=\dfrac{i-1}{4}=\dfrac{-1}{4}+\dfrac{i}{4}$
$|z|=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{4}\right)^2+\left(\dfrac{1}{4}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{1}{8}}=\dfrac{1}{\sqrt{8}}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$
$z=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(\dfrac{-\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$
donc si on note $\theta=arg(z)$ on a:
$\begin{cases} cos(\theta)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ sin(\theta)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} $
donc $\theta=\dfrac{3\pi}{4}$ ($2\pi$) (c'est à dire $\theta=\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$).
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Cours nº 1478
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Affixe - forme trigonométrique
- affixe d'un point et d'un vecteur
- complexes et géométrie
- forme trigoométrique
infos cours
| 20-25mn
série 4 : Forme trigonométrique, module et argument
Fiche méthode
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Déterminer la forme trigonométrique
- calcul du module
- calcul de l'argument
- exemples
infos: | 15-20mn |
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