MATHS-LYCEERésoudre les systèmes d'équations suivants avec la méthode de votre choix
penser à contrôler le résultat obtenu
- $\begin{cases}
3x-5y=1\\
-x+2y=0
\end{cases}$
Systèmes d'équations à deux inconnues
$S: \begin{cases} ax+by=c\\a'x+b'y=c'\end{cases}$ avec $a$, $b$, $c$, $a'$, $b'$, $c'$ réels et $x$ et $y$ sont les deux inconnues.
Le système $S$ admet une solution unique si et seulement si $ab'-a'b\neq 0$ (déterminant du système $S$).On peut ici isoler $x$ dans la seconde équation sans avoir de fractions (coefficient de $x$ égal à $-1$) donc on peut résoudre par substitutionAu préalable, on peut vérifier si il y a un couple solution unique.
$3\times 2-(-5)\times (-1)=6-5=1\neq 0$
donc le système admet un unique couple solution.
On peut résoudre par substitution en isolant $x$ dans la seconde équation.
$\begin{cases} 3x-5y=1\\ -x+2y=0 \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} 3x-5y=1\\ -x=-2y \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} 3\times 2y-5y=1\\ x=2y \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} 6y-5y=1\\ x=2y \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} y=1\\ x=2\times 1 \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} y=1\\ x=2 \end{cases}$
Vérification
Première équation: $3x-5y=3\times 2 -5\times 1=6-5=1$ (vrai)
Deuxième équation: $-2+2\times 1=-2+2=0$ (vrai)
On peut contrôler le résultat avec la calculatrice MENU EQU puis Simultanées puis 2 inconnues et saisir les coefficients (voir cours ou ex 207 en vidéo) - $\begin{cases}
3x+4y=1\\
2x-5y=-7
\end{cases}$
On ne peut pas isoler une inconnue sans avoir à faire des calculs avec les fractions donc on va résoudre par combinaisonsAu préalable, on peut vérifier si il y a un couple solution unique.
$3\times (-5)-4\times 2=-15-8=-23\neq 0$
donc le système admet un unique couple solution.
$\begin{cases} 3x+4y=1\\ 2x-5y=-7 \end{cases}$
$ \Longleftrightarrow \begin{cases} 6x+8y-(6x-15y)=2-(-21)~~~2L_1-3L_2\\ 15x+20y+(8x-20y)=5+(-28)~~~~5L_1+4L_2 \end{cases}$
$ \Longleftrightarrow \begin{cases} 6x+8y-6x+15y=23\\ 15x+20y+8x-20y=-23 \end{cases}$
$ \Longleftrightarrow \begin{cases} 23y=23\\ 23x=-23 \end{cases}$
$ \Longleftrightarrow \begin{cases} y=1\\ x=-1 \end{cases}$
Vérification
Première équation: $3x+4y=3\times (-1) +4\times 1=-3+4=1$ (vrai)
Deuxième équation: $2\times (-1)-5\times 1=-2-5=-7$ (vrai)
On peut contrôler le résultat avec la calculatrice MENU EQU puis Simultanées puis 2 inconnues et saisir les coefficients (voir cours ou ex 207 en vidéo) - $\begin{cases}
3x+4y=1\\
9x+12y=-7
\end{cases}$
Systèmes d'équations à deux inconnues
$S: \begin{cases} ax+by=c\\a'x+b'y=c'\end{cases}$ avec $a$, $b$, $c$, $a'$, $b'$, $c'$ réels et $x$ et $y$ sont les deux inconnues.
Le système $S$ admet une solution unique si et seulement si $ab'-a'b\neq 0$ (déterminant du système $S$).On peut multiplier la première équation par $3$Au préalable, on peut vérifier si il y a un couple solution unique.
$3\times 12-4\times 9=36-36=0$
donc le système n'admet pas un unique couple solution.
En calculant $3L_1-L_2$ on a:
$9x+12y-(9x+12y)=3-(-7) \Longleftrightarrow 0x+0y=10$
or $0x+0y=0$ et ne peut donc être égal à $10$
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Cours nº 206
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Systèmes d'équations à deux inconnues
- unicité de la solution
- résolution par substitution
- résolution par combinaisons
- contrôle de la solution à la calculatrice
- cas particuliers
infos cours
| 15-20mn
série 8 : Systèmes d'équations
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