Dans un repère du plan, on donne la droite $(d)$ d'équation $2x-3y+4=0$, la droite $(d')$ d'équation $2x-y-4=0$ et les points $A(1;7)$ et $B(6;2)$.
- Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$.
Déterminer une équation cartésienne
Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$ avec $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ donnés dans un repère.
Méthode 1
- calculer les coordonnée du vecteur $\overrightarrow{AB}$ vecteur directeur de $(AB)$
- Si le point $M(x;y)$ appartient à $(AB)$, les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires
- $det(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB})=0$
Méthode 2
- calculer les coordonnée du vecteur $\overrightarrow{AB}$ vecteur directeur de $(AB)$
- Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}(-b;a)$ donnent les coefficients $a$ et $b$ d'une équation cartésienne
- $(AB)$: $ax+by+c=0$ et $A\in (AB)$ donc $ax_A+by_A+c=0$ (équation d'inconnue $c$)$\begin{cases} x_B-x_A=6-1=5\\ y_B-y_A=2-7=-5\end{cases}$
donc $\overrightarrow{AB}(5;-5)$ est un vecteur directeur de $(AB)$
Méthode 1
Soit $M(x;y)$ un point de $(AB)$, $\overrightarrow{AM}(x-1;y-7)$
$\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires
$\Longleftrightarrow det(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB})=0$
$\Longleftrightarrow \begin{bmatrix}x-1&5\\ y-7&-5\end{bmatrix}=0$
$\Longleftrightarrow -5(x-1)-5(y-7)=0$
$\Longleftrightarrow -5x-5y+40=0$
$\Longleftrightarrow -x-y+8=0$ (en divisant tous les coefficients par $5$)
Méthode 2
$\overrightarrow{AB}(5;-5)$ est un vecteur directeur de $(AB)$ donc $a=-5$ et $b=-5$
donc $(AB)$ admet une équation cartésienne de la forme $-5x-5y+c=0$
$A\in (AB) \Longleftrightarrow -5\times 1-5\times 7+c=0 \Longleftrightarrow c=40$
- Justifier que les droites $(d)$ et $(d')$ ne sont pas parallèles puis calculer les coordonnées de $I$ point d'intersection de $(d)$ et $(d')$.
Il faut vérifier que les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires
On peut résoudre le système d'équations par combinaisons ou par substitution en isolant $y$ dans la seconde équation$\overrightarrow{u}(3;2)$ est un vecteur directeur de $(d)$
$\overrightarrow{u'}(1;2)$ est un vecteur directeur de $(d')$
$det(\overrightarrow{u};\overrightarrow{u'})=\left| \begin{array} {cc}3&2\\1&2\end{array}\right|=3\times 2-1\times 2=4\neq 0$
donc $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{u'}$ ne sont pas colinéaires
Il faut résoudre $\begin{cases} 2x-3y+4=0\\2x-y-4=0\end{cases}$
$\phantom{\Longleftrightarrow} \begin{cases} 2x-3y+4=0\\2x-y-4=0\end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} 2x-3y+4-(2x-y-4)=0~~~~~~~L_1-L_2\\2x-3y+4-3(2x-y-4)=0~~~~~L_1-3L_2\end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} 2x-3y+4-2x+y+4=0\\2x-3y+4-6x+3y+12=0\end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} -2y=-8\\-4x=-16\end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} y=4\\x=4\end{cases}$
Contrôle
$2\times 4-3\times 4+4=8-12+4=0$
$2\times 4-4-48-8=0$ - Montrer que les droites $(d)$, $(d')$ et $(AB)$ sont concourantes.
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Cours nº 439
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Systèmes d'équations et intersection de droites
- justifier que deux droites sont sécantes
- résoudre un système d'équations à deux inconnues
- déterminer les coordonnées du point d'intersection de deux droites
infos cours
| 15-20mn
série 8 : Systèmes d'équations à deux inconnues et intersection de droites
Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Systèmes d'équations
- résolution par substitution
- résolution par combinaisons
- intersection de deux droites
infos: | 15-20mn |
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