MATHS-LYCEE$n$ est un entier naturel et on note $b$ son chiffre des unités.
On a alors $n=10a+b$ avec $a$ et $b$ entiers naturels.
- Montrer que si $a-2b$ est divisible par $7$ alors $n$ est divisible par $7$.
Multiple
Un nombre entier naturel $a$ est un multiple de $b \in \mathbb{N}^*$ ($b$ entier naturel non nul)si il existe un entier relatif $k$ tel que $a=kb$
On dit aussi que $b$ est un diviseur de $a$Si $a-2b$ est divisible par $7$ alors il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $a-2b=7k$$a-2b$ est divisible par $7$ alors il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $a-2b=7k$ soit $a=2b+7k$
On a alors:
$n=10a+b$
$~~~~=10(2b+7k)+b$
$~~~~=20b+70k+b$
$~~~~=21b+70k$
$~~~~=7(3b+10k)$
$~~~~=7K$ avec $K=3b+10k$ et donc $K\in \mathbb{Z}$
- Réciproquement, montrer que si $n$ est divisible par $7$ alors $a-2b$ est divisible par $7$.
Si $n$ est divisible par $7$ alors il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $n=7k$$n$ est divisible par $7$ alors il existe $k\in \mathbb{Z}$ tel que $n=10a+b=7k$ soit $b=7k-10a$
On a alors:
$a-2b=a-2(7k-10a)$
$~~~~~~=a-14k+20a$
$~~~~~~=21a-14k$
$~~~~~~=7(3a-2k)$
$~~~~=7K$ avec $K=3a-2k$ et donc $K\in \mathbb{Z}$
- $574$ est-il divisible par $7$?
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Cours nº 578
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Diviseurs et multiples
- diviseur et multiple d'un entier
- critères de divisibilité par 2,3, 5 et 7
infos cours
| 10-15mn
série 1 : Exercices de synthèse
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