MATHS-LYCEEOn donne la fonction $p$ définie sur $\mathbb{R}$ par $P(x)=ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels avec $a\neq 0$.
- Développer $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2$ et en déduire que $x^2+\dfrac{b}{a}x=\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}$
Identités remarquables
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
$\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2$
$=x^2+2\times x\times \dfrac{b}{2a}+\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2$
$=x^2+\dfrac{2xb}{2a}+\dfrac{b^2}{4a^2}$
$=x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}$
On a donc $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}$
donc $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}=x^2+\dfrac{b}{a}x$
- En utilisant la forme $P(x)=a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\right)$, écrire $P(x)$ sous la forme $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha$et $\beta$ exprimés en fonction de $a$, $b$ et $c$.
On peut utiliser le résultat de la question 1$P(x)=ax^2+bx+c$
$~~~~~=a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\right)$ car $a\neq 0$
$~~~~~=a\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{c}{a}\right)$ on remplace $x^2+\dfrac{b}{a}x$ par $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}$
$~~~~~=a\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{4ac}{4a^2}\right)$
$~~~~~=a\left(\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{-b^2+4ac}{4a^2}\right)$
$~~~~~=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{a(-b^2+4ac)}{4a^2}$
$~~~~~=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{-b^2+4ac}{4a}$
$P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$
et $P(x)=a\left(x-\dfrac{-b}{2a}\right)^2+\dfrac{-b^2+4ac}{4a}$
donc $\alpha=\dfrac{-b}{2a}$ et $\beta=\dfrac{-b^2+4ac}{4a}$
- Application: déterminer la forme canonique de $P(x)=2x^2-16x+7$
Forme canonique
Toute fonction polynôme de degré 2 définie sur $\mathbb{R}$ par $P (x) = ax^2 + bx + c$ peut s'écrire sous la forme $P (x) = a(x -\alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha=\dfrac{-b}{2a}$ et $\beta= P ( \alpha)$.
Cette écriture de $P (x)$ est appelée forme canonique et $S(\alpha;\beta)$ est le sommet de la parabole représentant la fonction $P$$a=2$, $b=-16$ et $c=7$On a ici $a=2$, $b=-16$ et $c=7$
$\alpha=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{16}{4}=4$ $b=-16$ donc $-b=16$
$\beta=\dfrac{-b^2+4ac}{4a}=\dfrac{-(-16)^2+4\times 2\times 7}{8}=-25$
On peut aussi utiliser $\beta=P(\alpha)=P(4)=2\times 4^2-16\times 4+7=-25$
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Cours nº 591
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Forme canonique, variations et équations
- forme canonique et sommet de la parabole
- variations de $P(x)=ax^2+bx+c$
- discriminant et racines
infos cours
| 10-15mn
série 0 : Démonstrations de cours
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