MATHS-LYCEEOn donne ci-dessous les représentations graphiques $\mathcal{P}_1$, $\mathcal{P}_2$ et $\mathcal{P}_3$ respectivement des fonctions polynôme de degré 2 $f_1$, $f_2$ et $f_3$.
Déterminer l'expression de chacune de ces fonctions sous forme canonique puis développée.
- Pour $f_1$:
Forme canonique
Toute fonction polynôme de degré 2 définie sur $\mathbb{R}$ par $P (x) = ax^2 + bx + c$ peut s'écrire sous la forme $P (x) = a(x -\alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha=\dfrac{-b}{2a}$ et $\beta= P ( \alpha)$.
Cette écriture de $P (x)$ est appelée forme canonique et $S(\alpha;\beta)$ est le sommet de la parabole représentant la fonction $P$Lire les coordonnées du sommet de la parabole $\mathcal{P}_1$ pour déterminer $\alpha$ et $\beta$ dans la forme canonique $f_1(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$
On peut déterminer ensuite la valeur de $a$ en utilisant les coordonnées d'un point de la parabole.On pose $f_1(x)=a_1(x-\alpha_1)^2+\beta_1$
Pour la parabole $\mathcal{P}_1$, on a $a_1>0$ (parabole orientée vers le haut) et le sommet $S_1$ a pour coordonnées $(2;-5)$
On a donc $\alpha_1=2$ et $\beta_1=-5$
donc $f_1(x)=a_1(x-2)^2-5$
La parabole $\mathcal{P}_1$ passe par le point $A$ de coordonnées $(0;-3)$ par exemple
donc $f_1(0)=-3$
donc $f_1(0)=a_1(0-2)^2-5=-3$ (on remplace $x$par $0$ dans l'expression de $f1$)
$a_1(0-2)^2-5=-3 \Longleftrightarrow 4a_1=2 \Longleftrightarrow a_1=\dfrac{1}{2}$
$f_1(x)=\dfrac{1}{2}(x-2)^2-5$
$=\dfrac{1}{2}(x^2-4x+4)-5$
$=\dfrac{x^2}{2}-2x+2-5$
$=\dfrac{x^2}{2}-2x-3$
- Pour $f_2$:
Lire les coordonnées du sommet de la parabole $\mathcal{P}_2$ pour déterminer $\alpha$ et $\beta$ dans la forme canonique $f_2(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$
On peut déterminer ensuite la valeur de $a$ en utilisant les coordonnées d'un point de la parabole.
On pose $f_2(x)=a_2(x-\alpha_2)^2+\beta_2$
Pour la parabole $\mathcal{P}_2$, on a $a_2>0$ et le sommet $S_2$ a pour coordonnées $(3;1)$
On a donc $\alpha_2=3$ et $\beta_2=1$
donc $f_2(x)=a_2(x-3)^2+1$
La parabole $\mathcal{P}_2$ passe par le point $B$ de coordonnées $(1;9)$ par exemple
donc $f_2(1)=a_2(1-3)^2+1=9$
$a_2(1-3)^2+1=9 \Longleftrightarrow 4a_2=8 \Longleftrightarrow a_2=2$
$f_2(x)=2(x-3)^2+1$
$=2(x^2-6x+9)+1$
$=2x^2-12x+18+1$
$=2x^2-12x+19$
- Pour $f_3$:
On pose $f_3(x)=a_3(x-\alpha_3)^2+\beta_3$
Pour la parabole $\mathcal{P}_3$, on a $a_3<0$ et le sommet $S_3$ a pour coordonnées $(-1;7)$
On a donc $\alpha_3=-1$ et $\beta_3=7$
donc $f_3(x)=a_3(x-(-1))^2+7=a_3(x+1)^2+7$
La parabole $\mathcal{P}_3$ passe par le point $B$ de coordonnées $(0;4)$ par exemple
donc $f_3(0)=a_3(0+1)^2+7=4$
$a_3(0+1)^2+7=4 \Longleftrightarrow a_3=-3$
$f_3(x)=-3(x+1)^2+7$
$=-3(x^2+2x+1)+7$
$=-3x^2-6x-3+7$
$=-3x^2-6x+4$
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Cours nº 591
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Forme canonique, variations et équations
- forme canonique et sommet de la parabole
- variations de $P(x)=ax^2+bx+c$
- discriminant et racines
infos cours
| 10-15mn
série 0 : Forme canonique et variations
Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Rechercher l'expression de $f$
- connaissant le sommet
- connaissant les racines
- à partir de trois points
infos: | 8-12mn |
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