$P(x)$ est un polynôme de degré 2 avec $a=\dfrac{1}{6}$, $b=\dfrac{-2}{3}$ et $c=1$
On veut écrire $P(x)$ sous la forme $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$
$\alpha=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{\dfrac{2}{3}}{2\times \dfrac{1}{6}}=\dfrac{2}{3}\times 3=2$

$\beta=P(\alpha)=P(2)=\dfrac{2^2}{6}-\dfrac{2\times 2}{3}+1=\dfrac{4}{6}-\dfrac{4}{3}+1=\dfrac{2}{3}-\dfrac{4}{3}+\dfrac{3}{3}=\dfrac{1}{3}$
$P(x)=\dfrac{1}{6}(x-2)^2+\dfrac{1}{3}$
Remarque
Avec la calculatrice graphique on peut saisir les deux expressions (forme développée et forme canonique obtenue) dans le menu TABLE ou GRAPH pour vérifier que ces deux fonctions sont égales

$P(x)=x-2x^2+6=-2x^2+x+6$
$P(x)$ est un polynôme de degré 2 avec $a=-2$, $b=1$ et $c=6$
On veut écrire $P(x)$ sous la forme $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$
$\alpha=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-1}{2\times (-2)}=\dfrac{1}{4}$

$\beta=P(\alpha)$
$~~~~=P\left(\dfrac{1}{4}\right)$
$~~~~=-2\times \left(\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{1}{4}+6$
$~~~~=-2\times \dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{4}+6$
$~~~~=\dfrac{-1}{8}+\dfrac{2}{8}+\dfrac{48}{8}$
$~~~~=\dfrac{49}{8}$
donc $P(x)=-2\left(x-\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{49}{8}$
$P(x)=-2\left(x-\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{49}{8}$