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  3. exercice corrigé nº1028
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La fonction $f$ est définie et dérivable sur $[0;4]$ et on donne ci-dessous sa représentation graphique dans un repère orthogonal.
La droite $T$ est la tangente à la courbe au point $A$ d'abscisse $2$.

Partie A: lectures graphiques
  1. Déterminer $f(1)$.

    Aide

    Il faut déterminer graphiquement l'image de 1 par $f$

    Solution

    Le point de la courbe d'abscisse $1$ a pour ordonnée $2$
  2. Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ a-t-on $f'(x)=0$?

    Aide

    Le coefficient directeur de la tangente à la courbe est $0$ donc la tangente est parallèle à l'axe des abscisses aux points de la courbe correspondants à un maximum ou un minimum relatif.

    Solution

    La dérivée s'annule et change de signe pour les valeurs de $x$ pour lesquelles $f$ admet un maximum ou un minimum(relatif)
    et donc aux points de la courbe pour lesquels la tangente est parallèle à l'axe des abscisses.

  3. Déterminer graphiquement $f'(2)$.

    Rappel de cours

    Équation de la tangente au point d'abscisse $a$

    $f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
    La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
    et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}

    Équation réduite

    Toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées admet une équation (appelée équation réduite) de la forme $y=ax+b$ où $a$ et $b$ sont des réels.$a$ est le coefficient directeur (ou pente) de la droite et $b$ l'ordonnée à l'origine(ordonnée du point d'intersection avec l'axe des ordonnées).
    L'accroissement $\Delta_y$ des ordonnées est proportionnel à l'accroissement $\Delta_x$ des abscisses.

    Aide

    $f'(2)$ est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 2.

    Solution

    $f'(2)$ est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 2

  4. A l'aide du graphique, dresser le tableau de variation de $f$.

    Solution

    Tableau de variation:

    avec $x_2\approx 2,6$ et $f(x_2)\approx -3,6$

    On ne place pas de valeurs approchée dans le tableau de variation
  5. Quelle semble être la valeur du minimum de $f$ sur l'intervalle $[1;4]$?

    Solution

Partie B: étude numérique
La fonction $f$ est définie par $f(x)=3x^3-16x^2+23x-8$ sur $[0;4]$.
  1. Calculer $f'(x)$.

    Rappel de cours

    Dérivées usuelles

    Signe de la dérivée et variations d'une fonction

    Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $I$:
    $f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\geq 0$
    $f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\leq 0$

    Aide

    Il faut étudier le signe de $f'(x)$ en calculant le discriminant de $f'(x)$ (second degré)

    Solution

    $f'(x)=3\times 3x^2-16\times 2x+23\times 1-0=9x^2-32x+23$


    Penser à contrôler avec la calculatrice
    Avec CASIO GRAPH35 par exemple, saisir Y1=$f(x)$ et Y2=$f'(x)$ et vérifier que DERIVATIVE est bien sur On (shift MENU pour SETUP)
    et on doit avoir Y'1=Y2
  2. Dresser le tableau de variation de $f$ et retrouver la valeur exacte du minimum dur $[1;4]$.

    Rappel de cours

    Racines

    Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
    c'est à dire telles que $P(x)=0$.
    $\Delta=b^2-4ac$
    Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
    Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
    Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
    Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.

    Signe de $ax^2+bx+c$

    - Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$

    - Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)

    - Cas $\Delta<0$ (aucune racine)

    Aide

    Il faut chercher les racines de $f'(x)$ polynôme de degré 2.

    Solution

    On remarque que $9-32+23=0$
    donc $x_1=1$ est une racine de $f'(x)$
    $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$ donc $1x_2=\dfrac{23}{9}$ soit $x_2=\dfrac{23}{9}$
    En calculant le discriminant on a:
    $\Delta=b^2-4ac=(-32)^2-4\times 9\times 23=196$
    $\Delta>0$ donc il y a deux racines
    $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{32 +14 }{18 }=\dfrac{46}{18}=\dfrac{23}{9}$
    et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{32 - 14 }{18 }=1$

    avec $f\left(\dfrac{23}{9}\right)\approx -3,6$
    Le minimum de $f$ est bien atteint en $x=\dfrac{23}{9}\approx 2,6$
    $f\left(\dfrac{23}{9}\right)=3\left(\dfrac{23}{9}\right)^3-16\times \left(\dfrac{23}{9}\right)^2+23\times \dfrac{23}{9}-8$
    $~~~~~~~~=\dfrac{36501}{729}-\dfrac{8464}{81}+\dfrac{529}{9}-8$
    $~~~~~~~~=\dfrac{12167}{243}-\dfrac{25392}{243}+\dfrac{14283}{243}-\dfrac{1944}{243}$
    $~~~~~~~~=\dfrac{12167-25392+14283-1944}{243}$
    $~~~~~~~~=\dfrac{-886}{243}$
    $~~~~~~~~\approx -3,64$
    Le minimum de $f$ est $\dfrac{-886}{243}$ sur $[1;4]$
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Cours nº 757


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Signe de la dérivée et variations

- variations de $f$ et signe de la dérivée $f'(x)$
- étude des variations d'une fonction (méthode)
- exemples types: étude des variations d'une fonction polynôme de degré 3
- étude des variations d'une fonction rationnelle

infos cours

| 15-20mn
série 7 : Exercices de synthèse

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