ex nº1030 - Recettes et recherche du bénéfice max

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Une entreprise possède une chaîne de fabrication capable de fabriquer en une semaine entre 6 000
et 32 000 pièces identiques.
Le coût de fabrication, en euros, de $x$ milliers de pièces, pour $x$ compris entre 6 et 32, est noté $C(x)$, où $C$ est la fonction définie sur $[6;32]$ par : $C(x)=2x^3-108x^2+5~060x-4~640$
Toutes les pièces produites sont vendues au prix de $3,50$ \euro~ l'unité.
On note $B(x)$ le bénéfice réalisé pour la production et la vente de $x$ milliers de pièces.

1. Montrer que, pour tout $x \in [6;32]$, $B(x)=-2x^3+108x^2-1~560x+4~640$.

   Aide

   $x$ est exprimé en millires de pièces donc pour $x$ milliers de pièces, on a $1000x$ pièces.

   Solution

   On vend $x$ milliers de pièces soit $1000x$ pièces au prix de $3,5$ euros l'unité
   donc la recette est $R(x)=3,5\times 1000x=3500x$
   $B(x)=R(x)-C(x)$
   $~~~~~~=3500x-2x^3+108x^2-5~060x+4~640$
   $~~~~~~=-2x^3+108x^2-1~560x+4~640$
   donc $B(x)=-2x^3+108x^2-1~560x+4~640$.}
2. Déterminer $B'(x)$, et étudier son signe sur $[6;32]$.

   Rappel de cours

   Signe de $ax^2+bx+c$

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   - Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$
   
   - Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)
   
   - Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
   

   Dérivées usuelles

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   Aide

   Il faut déterminer d'abord les racines de $B'(x)$ en calculant le discriminant $\Delta$

   Solution

   $B'(x)=-2\times 3x^2+108\times 2x-1560$
   $~~~~~~~~=-6x^2+216x-1560$
   $~~~~~~~~=6(-x^2+36x-260)$
   $\Delta=b^2-4ac=36^2-4\times (-1)\times (-260)=256$
   $\Delta>0$ donc il y a deux racines
   $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{ -36+ 16 }{ -2 }=10$
   et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-36 -16 }{-2 }=26$
   Tableau de signe de $f'(x)$ dans la question suivante}
3. En déduire le tableau de variations de la fonction $B$.

   Rappel de cours

   Signe de la dérivée et variations d'une fonction

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   Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $I$:
   $f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\geq 0$
   $f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\leq 0$

   Solution

   Tableau de signe de $B'(x)$ et de variation de $B$
   
   Avec la calculatrice (MENU TABLE) on a:
   $B(6)=-1264$, $B(10)-2160$, $B(26)=1936$ et $B(32)=-224$
4. Quel est le bénéfice maximal réalisable par l'entreprise ?
   Donner le nombre de pièces à produire qui réalise ce maximum.

   Aide

   Utiliser le tableau de variation et donner le nombre de pièces ( $x$ est exprimé en milliers de pièces)

   Solution

   Le bénéfice maximal est donc de 1936 euros pour $26\times 1000=26000$ pièces vendues.