MATHS-LYCEELa fonction $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2x^2-12x+1$.
- Calculer $f'(x)$, étudier son signe et dresser le tableau de variations de $f$.
Dérivées usuelles
Il faut étudier le signe de $f'(x)$$f'(x)=2\times 2x-12=4x-12$
$4x-12>0 \Longleftrightarrow 4x>12 \Longleftrightarrow x>3$
donc $f'(x)>0$ pour $x>3$
On a donc:
$f(3)=2\times 3^2-12\times 3+1=-17$
ne pas confondre $f(x)$ et $f'(x)$ - Retrouver ce résultat en utilisant la forme canonique de $f$. (sans utiliser la dérivée)
Variations fonction polynôme du second degré
Soit la fonction $P$ définie sur $\mathbb{R}$ par sa forme canonique $P (x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$
La courbe représentative de $P$ est une parabole dont le sommet a pour coordonnées $(\alpha; \beta)$.
Tableau de variation:
Déterminer les coordonnées du sommet S de la parabole en utilisant la forme canoniqueOn a $\alpha=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-(-12)}{4}=3$
et $\beta=f(\alpha)=2\times 3^2-12\times 3+1=-17$
donc le point $S(3;-17)$ est le sommet de la parabole représentant la fonction $f$.
On a $a=2$ (coefficient de $x^2$) donc $-17$ est le minimum de $f$, donc on a:
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Cours nº 757
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Signe de la dérivée et variations
- variations de $f$ et signe de la dérivée $f'(x)$
- étude des variations d'une fonction (méthode)
- exemples types:
étude des variations d'une fonction polynôme de degré 3
- étude des variations d'une fonction rationnelle
infos cours
| 15-20mn
série 7 : Étude des variations
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