On pose $u(x)=x^3-2$ et $v(x)=x+4$
donc $u'(x)=3x^2$ et $v'(x)=1$
$f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{3x^2(x+4)-(x^3-2)\times 1}{(x+4)^2}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{3x^3+12x^2-x^3+2}{(x+4)^2}$
$f'(x)=\dfrac{2x^3+12x^2+2}{(x+4)^2}$

$g'(x)=2\times 3x^2+12\times 2x+0=6x^2+24x=6x(x+4)$
$6x(x+4)=0 \Longleftrightarrow x=0$ ou $x=-4$
Les racines de $6x^2+24$ sont $x_1=0$ et $x_2=-4$
$6x^2+24x$ est du signe de $a=6$ coefficient de $x^2$ à "l'extérieur" des racines
donc $g'(x) >0 $ sur $]0;+\infty[$
On a donc

avec $g(0)=2\times 0^3+12\times 0^2+2=2$
Ne pas confondre $g(0)$ et $g'(0)$
Remarque
Courbe représentative de la fonction $g$ donnée à titre indicatif.

On peut aussi tracer la courbe sur la calculatrice (MENU GRAPH) pour contrôler les résultats du tableau de variations

$g(0)=2$ est le minimum de la fonction $g$ sur $]-4;+\infty[$
donc pour tout réel $x\in D_f$, on a: $g(x)\geq 2 > 0$
$g(x)>0$ sur $D_f$
On a $f'(x)=\dfrac{2x^3+12x^2+2}{(x+4)^2}$
donc $f'(x)=\dfrac{g(x)}{(x+4)^2}$
$(x+4)^2 > 0$ sur $D_f$ donc $f'(x)$ est du signe de $g(x)$
donc $f$ est strictement croissante sur $D_f$
On a donc :

$f'(x)=\dfrac{2x^3+12x^2+2}{(x+4)^2}$
$f'(-2)=\dfrac{2\times (-2)^3+12\times (-2)^2+2}{(-2+4)^2}$
$~~~~=\dfrac{34}{4}~$
$~~~~=\dfrac{17}{2}~$
$~~~~=8,5$
$f(-2)=\dfrac{(-2)^3-2}{-2+4}=\dfrac{-10}{2}=-5$
donc T a pour équation réduite:
$y=f'(-2)(x-(-2))+f(-2)$
$\phantom{y}=\dfrac{17}{2}(x+2)-5$
$\phantom{y}=\dfrac{17}{2}x+17-5$
$\phantom{y}=\dfrac{17}{2}x+12$
T: $y=\dfrac{17}{2}x+12$

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