Le tableau ci-dessous donne la répartition des employé dans une entreprise en fonction de leur âge.
On note les événements:
- C : " l'employé est un cadre"
- T : " l'employé est un technicien"
- O : " l'employé est un ouvrier"
- J : " l'employé a moins de 30 ans"
Donner la signification des notations suivantes et calculer ensuite la probabilité demandée en arrondissant aux centièmes si nécessaire.
- $p(C \cap J)$.
Intersection (A et B) et réunion (A ou B)
Soient A et B deux événements.
L'événement $A \cap B$ (lire A inter B) est l'ensemble des issues qui réalisent à la fois A et B.
Si $A \cap B =\oslash$, on dit que A et B sont incompatibles.
L'événement $A \cup B$ (lire A union B) est l'ensemble des issues qui réalisent A ou bien B, c'est à dire réalisant A ou bien réalisant B ou bien réalisant A et B.
$p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$Il faut déterminer le nombre d'employés répondant à ces deux critères ($C$ et $J$)$p(C \cap J)$ est la probabilité que l'employé soit un cadre et a moins de 30 ans.
D'après le tableau, il y a 35 cadres de moins de 30 ans parmi les 170 employés.
$p(C \cap J)=\dfrac{35}{170}\approx 0,21$
- $p(C \cup \overline{J})$.
Il faut déterminer le nombre d'employés répondant l'un ou l'autre de ces deux critères ($C$ et $\overline{J}$)$p(C \cup \overline{J})$ est la probabilité que l'employé soit un cadre ou bien a plus de 30 ans.
D'après le tableau, il y a $20+32+43+35=130$ employés cadres ou bien de plus de 30 ans parmi les 170 employés.
$p(C \cup \overline{J})=\dfrac{130}{170}\approx 0,76$
- $p_O(J)$.
Probabilité conditionnelle
Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$.
La probabilité que l'événement $B$ soit réalisé sachant que l'événement $B$ est réalisé se note $p_A(B)$
et on a $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$.Il faut déterminer le nombre d'employés répondant au critère $J$ parmi les 62 ouvriers$p_O(J)$ est la probabilité que l'employé ait moins de 30 ans sachant que c'est un ouvrier.
D'après le tableau, il y a $19$ employés de moins de 30 ans parmi les 62 ouvriers.
$p_O(J)=\dfrac{19}{62}\approx 0,31$
- $p_{\overline{O}}(J)$.
Il faut déterminer le nombre d'employés répondant au critère $J$ parmi ceux qui ne sont pas ouvriers.$p_{\overline{O}}(J)$ est la probabilité que l'employé ait moins de 30 ans sachant que ce n'est pas un ouvrier (c'est donc soit un cadre, soit un technicien).
D'après le tableau, il y a $35+21=56$ employés de moins de 30 ans parmi les $55+53=108$ employés qui ne sont pas techniciens (voir tableau ci-dessous).
$p_{\overline{O}}(J)=\dfrac{56}{108}\approx 0,51$
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Cours nº 944
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Probabilités et probabilités conditionnelles
- rappels des notations vues en seconde
- étude d'un exemple avec un tableau à double entrée
- utilisation d'un arbre de probabilités
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série 2 : Probabilités conditionnelles
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