ex nº950 - Probabilités avec un arbre

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La Revue Spéciale d'économie et le Guide des Placements en Bourse sont deux magazines mensuels offrant à leurs lecteurs la possibilité d'abonnement communs.
On s'intéresse à l'ensemble des lecteurs de l'une ou l'autre de ces deux revues.
Parmi ces lecteurs, certains sont abonnés. Les abonnés ont souscrit soit l'un des deux abonnements, soit les deux abonnements simultanément.
Une étude a permis de constater que :
- 60% de l'ensemble des lecteurs ont souscrit un abonnement à la "Revue Spéciale d'économie" , et parmi eux $\dfrac{3}{5}$ ont aussi choisi l'abonnement au " Guide des Placements en Bourse" ;
- 10% des lecteurs n'ayant pas choisi l'abonnement à la " Revue Spéciale d'économie", ont souscrit l'abonnement au " Guide des Placements en Bourse ".
On note : $A$ l'évènement : " le lecteur a choisi l'abonnement à la "Revue Spéciale d'économie"" ;
$B$ l'évènement : " le lecteur a choisi l'abonnement au "Guide des Placements en Bourse" .
On interroge un lecteur au hasard.

1. Déduire de l'énoncé les probabi1ités $p(A)$,$p\left(\overline{A}\right)$, $p_A(B)$ et $p_{\overline{A}}(B)$ puis reproduire et compléter l'arbre suivant :
   

   Aide

   Traduire les données de l'énoncé avec les notations des événements données et les notations des probabilités conditionnelles

   Solution

   60% de l'ensemble des lecteurs ont souscrit un abonnement à la "Revue Spéciale d'économie" donc $p(A)=\dfrac{60}{100}=0,6$
   et $p\left(\overline{A}\right)=1-p(A)=0,4$
   Parmi les lecteurs ayant souscrit un abonnement à la "Revue Spéciale d'économie", $\dfrac{3}{5}$ ont aussi choisi l'abonnement au " Guide des Placements en Bourse" donc $p_A(B)=\dfrac{3}{5}=0,6$
   10% des lecteurs n'ayant pas choisi l'abonnement à la " Revue Spéciale d'économie", ont souscrit l'abonnement au " Guide des Placements en Bourse " donc $p_{\overline{A}}(B)=\dfrac{10}{100}=0,1$
   On a donc:
   
2. Traduire par une phrase l'événement $A\cap B$ puis donner sa probabilité.

   Rappel de cours

   Intersection (A et B) et réunion (A ou B)

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   Soient A et B deux événements.
   L'événement $A \cap B$ (lire A inter B) est l'ensemble des issues qui réalisent à la fois A et B.
   Si $A \cap B =\oslash$, on dit que A et B sont incompatibles.
   
   L'événement $A \cup B$ (lire A union B) est l'ensemble des issues qui réalisent A ou bien B, c'est à dire réalisant A ou bien réalisant B ou bien réalisant A et B.
   
   $p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$

   Probabilité de l'événement $A\cap B$

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   Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$, on a
   $p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)$

   Aide

   Identifier le parcours sur l'arbre correspondant à $A\cap B$

   Solution

   $A\cap B$ est l'événement :" le lecteur a souscrit un abonnement à la "Revue Spéciale d'économie" et a aussi choisi l'abonnement au " Guide des Placements en Bourse" "
   $p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)=0,6\times 0,6=0,36$ (parcours en rouge sur l'arbre)
   
   La probabilité que le lecteur ait souscrit aux deux abonnements est $p(A\cap B)=0,36$
3. Traduire par une phrase l'événement $\overline{A} \cap \overline{B}$. Donner sa probabilité.

   Aide

   Identifier le parcours sur l'arbre correspondant à $\overline{A} \cap \overline{B}$

   Solution

   $\overline{A} \cap \overline{B}$ est l'événement :" le lecteur n'a souscrit aucun abonnement"
   $p(\overline{A} \cap \overline{B})=p(\overline{A})\times p_{\overline{A}}(\overline{B})=0,4\times 0,9=0,36$ (parcours en bleu sur l'arbre)
   
   La probabilité que le lecteur n'ait souscrit aucun abonnement est $p(\overline{A} \cap \overline{B})=0,36$