ex nº953 - Probabilités conditionnelles et probabilités totales

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Les résultats des calculs numériques seront arrondis avec deux décimales.
Une entreprise recherche trois personnes expérimentées pour occuper trois postes techniques importants.
On a constaté, lors d'embauches précédentes, que parmi les candidats qui peuvent se présenter, 80 % ont les compétences requises pour occuper ces postes.
Pour sélectionner les candidats, les recruteurs de l'entreprise élaborent un test. On estime que :
- si une personne est compétente, elle a 85 chances sur 100 de réussir le test ;
- si une personne est incompétente, elle a 20 chances sur 100 de réussir le test.
Une personne se présente pour le premier poste.
On note
- C l'événement "la personne est compétente"
- R l'événement "la personne réussit le test".
- $\overline{C}$ et $\overline{R}$ désignent les événements contraires respectifs de C et R.

1. A laide des informations indiquées dans l'énoncé :
   Donner les valeurs de $p(C)$ et $p_{C}(R)$.
   Donner la probabilité qu'une personne réussisse le test, sachant qu'elle n'est pas compétente.

   Rappel de cours

   Probabilité conditionnelle

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   Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$.
   La probabilité que l'événement $B$ soit réalisé sachant que l'événement $B$ est réalisé se note $p_A(B)$
   et on a $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$.

   Solution

   80% ont les compétences requises pour occuper ces postes donc $p(C)=\dfrac{80}{100}=0,8$.
   Si une personne est compétente, elle a 85 chances sur 100 de réussir le test (on sait que la personne est compétente) donc $p_{C}(R)=\dfrac{85}{100}=0,85$.
   La probabilité qu'une personne réussisse le test, sachant qu'elle n'est pas compétente se note $p_{\overline{C}}(R)$
   si une personne est incompétente, elle a 20 chances sur 100 de réussir le test donc $p_{\overline{C}}(R)=0,2$
   $p(C)=0,8$, $p_{C}(R)=0,85$ et $p_{\overline{C}}(R)=0,2$ .
2. Calculer $p\left(\overline{C}\right)$.

   Aide

   On veut calculer la probabilité de l'événement contraire de $C$

   Solution

   $p\left(\overline{C}\right)=1-p(C)=1-0,8=0,2$
   $p\left(\overline{C}\right)=0,2$
3. Montrer que $p(R) = 0,72$.

   Rappel de cours

   Probabilités totales

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   Soient $A_1$, $A_2$,...$A_n$ des événements de l'univers $\Omega$ tels que $p(A_1)\neq 0$, $p(A_2)\neq 0$...$p(A_n)\neq 0$ et $B$ un événements.
   Si $A_1$, $A_2$,...$A_n$ sont deux à deux disjoints et que leur réunion forme l'univers $\Omega$ alors $A_1$, $A_2$...$A_n$ forment une partition de $\Omega$
   et on a $p(B)=p(A_1\cap B)+p(A_2\cap B)+...+p(A_n\cap B)$}
   $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers et on a $p(B)=p(A\cap B)+p(\overline{A}\cap B)$

   Solution

   $C$ et $\overline{C}$ sont disjoints
   et $C\cup \overline{C}=\Omega$
   donc $C$ et $\overline{C}$ forment une partition de l'univers
   D'après la formule des probabilités totales:
   $p(R)=p(C\cap R)+p(\overline{C}\cap R)$
   
   $\phantom{p(R)}=p(C)\times p_C( R)+p(\overline{C})\times p_{\overline{C}}(R)$
   
   $\phantom{p(R)}=0,8\times 0,85+0,2\times 0,2$
   
   $\phantom{p(R)}=0,72$
   On a $p(R)=0,72$.