ex nº954 - Probabilités conditionnelles et probabilités totales

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Un magasin de sport propose à la location des skis de piste, des snowboards et des skis de randonnée.
Son matériel est constitué de 50% de skis de piste, le reste étant également réparti entre les snowboards et les skis de randonnée.
Après la journée de location, le matériel est contrôlé et éventuellement réparé.
Il a été constaté que la moitié des skis de piste, deux tiers des snowboards et le quart des skis de randonnée nécessitent une réparation.
Chaque paire de ski et chaque snowboard est répertorié sur une fiche qui précise son suivi. On tire au hasard une fiche. On considère les évènements suivants :
- $P$ : "La fiche est celle d'une paire de skis de piste" ;
- $S$ : "La fiche est celle d'un snowboard" ;
- $F$ : "La fiche est celle d'une paire de skis de randonnée" ;
- $R$ : "Le matériel nécessite une réparation" et $\overline{R}$ est son évènement contraire.
Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

1. Traduire toutes les données de l'énoncé à laide d'un arbre pondéré (on ne demande aucune explication).

   Rappel de cours

   Arbre pondéré

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   Probabilités sur un arbre pondéré:
   

   Aide

   Traduire d'abord les données de l'énoncé avec les notations des événements et des probabilités et probabilités conditionnelles

   Solution

   Son matériel est constitué de 50% de skis de piste donc $p(P)=0,5$.
   Le reste est également réparti entre les snowboards et les skis de randonnée donc $p(S)=p(F)=0,25$.
   Il a été constaté que la moitié des skis de piste nécessitent une réparation
   donc $p_P(R)=0,5$.
   Il a été constaté que les deux tiers des snowboards nécessitent une réparation
   donc $p_S(R)=\dfrac{2}{3}$.
   Il a été constaté que le quart des skis de randonnée nécessitent une réparation
   donc $p_F(R)=0,25$
   On a donc:
   
2. Calculer la probabilité que la fiche tirée concerne une paire de skis de piste ne nécessitant pas une réparation.

   Rappel de cours

   Probabilité de l'événement $A\cap B$

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   Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$, on a
   $p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)$

   Aide

   L'événement la fiche tirée concerne une paire de skis de piste ne nécessitant pas une réparation se note $P\cap \overline{R}$

   Solution

   La probabilité que la fiche tirée concerne une paire de skis de piste ne nécessitant pas une réparation se note $p(P\cap \overline{R})$.
   $p(P\cap \overline{R})=p(P)\times p_P(\overline{R})=0,5\times 0,5=0,25$
   La probabilité ce soit une paire de skis de piste ne nécessitant pas une réparation est $p(P\cap \overline{R})=\dfrac{1}{4}$
3. Calculer la probabilité que la fiche tirée concerne du matériel ne nécessitant pas une réparation.

   Rappel de cours

   Probabilités totales

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   Soient $A_1$, $A_2$,...$A_n$ des événements de l'univers $\Omega$ tels que $p(A_1)\neq 0$, $p(A_2)\neq 0$...$p(A_n)\neq 0$ et $B$ un événements.
   Si $A_1$, $A_2$,...$A_n$ sont deux à deux disjoints et que leur réunion forme l'univers $\Omega$ alors $A_1$, $A_2$...$A_n$ forment une partition de $\Omega$
   et on a $p(B)=p(A_1\cap B)+p(A_2\cap B)+...+p(A_n\cap B)$}
   $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers et on a $p(B)=p(A\cap B)+p(\overline{A}\cap B)$

   Aide

   Identifier tous les chemins sur l'arbre menant à $\overline{R}$

   Solution

   $P$, $F$ et $S$ sont disjoints deux à deux et $P\cup F\cup S=\Omega$
   donc $P$, $F$ et $S$ forment une partition de l'univers
   D'après la formule des probabilités totales, on a:
   $p(\overline{R})=p(P\cap \overline{R})+p(S\cap \overline{R})+p(F\cap \overline{R})$
   
   $\phantom{p(\overline{R})}=\dfrac{1}{4}+p(S)\times p_S( \overline{R})+p(F)\times p_F(\overline{R})$
   
   $\phantom{p(\overline{R})}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\times \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}\times \dfrac{3}{4}$
   
   $\phantom{p(\overline{R})}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{3}{16}$
   
   $\phantom{p(\overline{R})}=\dfrac{12}{48}+\dfrac{4}{48}+\dfrac{9}{48}$
   
   $\phantom{p(\overline{R})}=\dfrac{25}{48}$
   La probabilité que le matériel ne nécessitant pas une réparation est $p(\overline{R})=\dfrac{25}{48}$.