MATHS-LYCEE$A$ et $B$ sont deux événements.
La probabilité que l'événement $A$ soit réalisé est $0,3$.
La probabilité que l'événement $B$ soit réalisé sachant que $A$ est réalisé est $0,6$.
La probabilité que l'événement $B$ soit réalisé $0,53$.
- Traduire les données de l'énoncé avec les notations des probabilités et compléter l'arbre ci-dessous.
Arbre pondéré
Probabilités sur un arbre pondéré:
On ne peut compléter toutes les branches de l'arbre car $p(B)$ ne peut Être placée.La probabilité que l'événement $A$ soit réalisé est $0,3$
donc $p(A)=0,3$.
La probabilité que l'événement $B$ soit réalisé sachant que $A$ est réalisé est $0,6$ donc $p_A(B)=0,6$.
La probabilité que l'événement $B$ soit réalisé $0,53$ donc $(B)=0,53$.
- Calculer $p(A\cap B)$.
include166flude$p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)=0,3\times 0,6=0,18$
- En utilisant la formule des probabilités totales, calculer $p(\overline{A}\cap B)$ puis $p_{\overline{A}}(B)$.
Probabilités totales
Soient $A_1$, $A_2$,...$A_n$ des événements de l'univers $\Omega$ tels que $p(A_1)\neq 0$, $p(A_2)\neq 0$...$p(A_n)\neq 0$ et $B$ un événements.
Si $A_1$, $A_2$,...$A_n$ sont deux à deux disjoints et que leur réunion forme l'univers $\Omega$ alors $A_1$, $A_2$...$A_n$ forment une partition de $\Omega$
et on a $p(B)=p(A_1\cap B)+p(A_2\cap B)+...+p(A_n\cap B)$}
$A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers et on a $p(B)=p(A\cap B)+p(\overline{A}\cap B)$Ecrire la formule des probabilités totales pour $p(B)$ et remplacer les probabilités connues pour obtenir une équation d'inconnue $p(\overline{A}\cap B)$.$A$ et $\overline{A}$ sont deux événements contraires
donc $A\cap \overline{A}=\oslash$ ($A$ et $\overline{A}$ sont disjoints)
$A\cup \overline{A}=\Omega$
donc $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers et d'après la formule des probabilités totales, on a:
$p(B)=p(A\cap B)+p(\overline{A}\cap B)\Longleftrightarrow 0,53=0,18+p(\overline{A}\cap B)$
$\phantom{p(B)=p(A\cap B)+p(\overline{A}\cap B)} \Longleftrightarrow 0,53-0,18=p(\overline{A}\cap B)$
$\phantom{p(B)=p(A\cap B)+p(\overline{A}\cap B)} \Longleftrightarrow 0,35=p(\overline{A}\cap B)$
$p(\overline{A}\cap B)=p(\overline{A})\times p_{\overline{A}}(B)$
donc $p_{\overline{A}}(B)=\dfrac{p(\overline{A}\cap B)}{p(\overline{A})}=\dfrac{0,35}{0,7}=0,5$
- Compléter alors l'arbre pondéré.
Arbre pondéré
Probabilités sur un arbre pondéré:
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Cours nº 945
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Probabilités conditionnelles et probabilités totales
- calcul d'une probabilité conditionnelle
- partition et formule des probabilités totales
- événements indépendants
infos cours
| 10-15mn
série 2 : Arbres pondérés et probabilités totales
Fiche méthode
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calculs de probabilités
- calcul de probabilités avec un arbre
- probabilités conditionnelles
- probabilités totales
infos: | 10-15mn |
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