On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=ln(x)$.
  1. Montrer que $F$ définie par $F(x)=xln(x)-x$ est une primitive de $f$ sur $]0;+\infty[$.

    Formules de dérivation (produit, quotient...)


    Dérivée de la fonction ln


    La fonction $ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $(ln(x))'=\dfrac{1}{x}$
    Il faut calculer $F'(x)$ en posant $u(x)=x$ et $v(x)=ln(x)$
    On a alors $F(x)=u(x)v(x)-x$
    On pose $u(x)=x$ et $v(x)=ln(x)$ dérivables sur $]0;+\infty[$.
    $F(x)=u(x)v(x)-x$ est dérivable sur $]0;+\infty[$
    On a alors $u'(x)=1$ et $v'(x)=\dfrac{1}{x}$
    $F'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)-1$
    $\phantom{F(x)}=1ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}-1$

    $\phantom{F(x)}=ln(x)+1-1$
    $\phantom{F(x)}=ln(x)$
    $\phantom{F(x)}=f(x)$
  2. En déduire l'ensemble des primitives de $f$ sur $]0;+\infty[$ puis la primitive $G$ de $f$ s'annulant en $x=1$.

    Ensemble des primitives d'une fonction


    $f$ est une fonction continue sur $I$ admettant une primitive $F$ sur $I$. L'ensemble des primitives de $f$ sur $I$ est l'ensemble des fonctions $G$ de la forme $G(x)=F(x)+C$ avec $C\in \mathbb{R}$
    $G(x)=F(x)+C$ et $G(1)=0$
    On a donc $F'(x)=f(x)$ donc $(F(x)+C)'=F'(x)+0=f(x)$ avec $C$ constante réelle.

    On veut $G$ primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ s'annulant en $x=1$
    donc $G(x)=xln(x)-x+C$ et $G(1)=0$
    $G(1)=0 \Longleftrightarrow 1ln(1)-1+C=0 $
    $\phantom{G(1)=0} \Longleftrightarrow -1+C=0$
    $\phantom{G(1)=0} \Longleftrightarrow -1+C=0$ (rappel on a $ln(1)=0$)
    $\phantom{G(1)=0} \Longleftrightarrow C=1$

devoir nº 1289


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Interrogation sur les primitives

- primitives des fonctions usuelles
- primitives de $e^{ax}$ et de $sin(ax+b)$
- justifier que F est une primitive de f
- déterminer la primitive vérifiant une condition donnée

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