On pose $u(x)=x-4$ et $v(x)=e^x$ et on a $G(x)=u(x)v(x)$
$u$ et $v$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ donc $G$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
$u'(x)=1$ et $v'(x)=e^x$
$G'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
$\phantom{G'(x)}=1e^x+(x-4)e^x$
$\phantom{G'(x)}=e^x(1+x-4)$
$\phantom{G'(x)}=e^x(x-3)$
$G'(x)=(x-3)e^x$

$G'(x)=(x-3)e^x$ donc $G$ est une primitive de la fonction $x \longmapsto (x-3)e^x$ sur $\mathbb{R}$
$f(x)=10+(x-3)e^x=10+G'(x)$
donc $F(x)=10x+G(x)=10x+(x-4)e^x$
$F(0)=10\times 0+(0-4)e^0=-4$ car $e^0=1$
$F(3)=10\times 3+(3-4)e^3=30-e^3$
$\int_0^3 f(x)dx=[F(x)]_0^3=F(3)-F(0)=30-e^3-(-4)=34-e^3$
$\int_0^3 f(x)dx=34-e^3$
penser à contrôler le résultat avec la calculatrice

On pose $u(x)=x-3$ et $v(x)=e^x$ dérivables sur $[0;3]$
et on a $f(x)=10+u(x)v(x)$ dérivable sur $[0;3]$
$u'(x)=1$ et $v'(x)=e^x$
$f'(x)=0+u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
$=1e^x+(x-3)e^x$
$=e^x(1+x-3)$
$=e^x(x-2)$
$e^x >0$ donc $f'(x)$ est du signe de $x-2$

$f(0)=10+(0-3)e^0=7$ (rappel $e^0=1$)
$f(2)=10+(2-3)e^2=10-e^2$
$f(3)=10+(3-3)e^3=10$

Sur $[0;3]$ le minimum de $f$ est $f(2)>0$
donc $f(x)\geq f(2)>0$
$f(x) > 0$ sur $[0;3]$

Sur $[0;3]$ on a $f$ continue et $f(x)>0$
donc $\int_0^3 f(x)dx$ est l'aire $A$ du domaine limité par la courbe, l'axe des abscisses et le droites d'équations $x=0$ et $x=3$
On a donc $A=34-e^3$ unités d'aires