En utilisant une intégration par parties, calculer les intégrales suivantes:
- $I=\displaystyle \int_0^1 xe^x dx$
Primitives des fonctions usuelles
Intégration par parties
$u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur $[1;b]$.
$\displaystyle \int_a^b u'v=[uv]_a^b-\int_a^b uv'$On pose $u'(x)=e^x$ et v(x)=x$On pose $u'(x)=e^x$ et $v(x)=x$
On a alors $u(x)=e^x$ et $v'(x)=1$
$\displaystyle \int_0^1 xe^x dx$
$=\displaystyle \int_0^1 u'(x)v(x)dx$
$=[u(x)v(x)]_0^1-\displaystyle \int_0^1 u(x)v'(x)dx$
$=[xe^x]_0^1-\displaystyle \int_0^1 e^xdx$
$=1e^1-0e^0-[e^x]_0^1$
$=e^1-\left(e^1-e^0\right)$
$=e^1-e^1+1$ (rappel $e^0=1$)
$=1$
Penser à contrôler avec la calculatrice - $I=\displaystyle \int_1^e xln(x)dx$
On pose $u'(x)=x$ et $v(x)=ln(x)$On pose $u'(x)=x$ et $v(x)=ln(x)$
et on a $u(x)=\dfrac{x^2}{2}$ et $v'(x)=\dfrac{1}{x}$
$I=\displaystyle \int_1^e xln(x)dx$
$=\displaystyle \int_1^e u'(x)v(x)dx$
$=[u(x)v(x)]_1^e-\displaystyle \int_1^e u(x)v'(x)dx$
$=[\dfrac{x^2ln(x)}{2}]_1^e-\displaystyle \int_1^e \dfrac{x^2}{2}\times \dfrac{1}{x}dx$
$=\dfrac{e^2ln(e)}{2}-\dfrac{1^2ln(1)}{2}-\displaystyle \int_1^e \dfrac{x}{2}dx$ (rappel $ln(e)=1$ et $ln(1)=0$)
$=\dfrac{e^2}{2}-\left[\dfrac{x^2}{4}\right]_1^e$
$=\dfrac{e^2}{2}-\left(\dfrac{e^2}{4}-\dfrac{1^2}{4}\right)$
$=\dfrac{e^2}{4}-\dfrac{1}{4}$
devoir nº 1290
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Calculs d'intégrales
- intégrales avec les fonctions usuelles
- intégration par parties
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