En utilisant une intégration par parties, calculer les intégrales suivantes:
  1. $I=\displaystyle \int_0^1 xe^x dx$

    Primitives des fonctions usuelles


    Intégration par parties


    $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur $[1;b]$.
    $\displaystyle \int_a^b u'v=[uv]_a^b-\int_a^b uv'$
    On pose $u'(x)=e^x$ et v(x)=x$
    On pose $u'(x)=e^x$ et $v(x)=x$
    On a alors $u(x)=e^x$ et $v'(x)=1$

    $\displaystyle \int_0^1 xe^x dx$
    $=\displaystyle \int_0^1 u'(x)v(x)dx$
    $=[u(x)v(x)]_0^1-\displaystyle \int_0^1 u(x)v'(x)dx$
    $=[xe^x]_0^1-\displaystyle \int_0^1 e^xdx$
    $=1e^1-0e^0-[e^x]_0^1$
    $=e^1-\left(e^1-e^0\right)$
    $=e^1-e^1+1$ (rappel $e^0=1$)
    $=1$


    Penser à contrôler avec la calculatrice
  2. $I=\displaystyle \int_1^e xln(x)dx$
    On pose $u'(x)=x$ et $v(x)=ln(x)$
    On pose $u'(x)=x$ et $v(x)=ln(x)$
    et on a $u(x)=\dfrac{x^2}{2}$ et $v'(x)=\dfrac{1}{x}$
    $I=\displaystyle \int_1^e xln(x)dx$
    $=\displaystyle \int_1^e u'(x)v(x)dx$
    $=[u(x)v(x)]_1^e-\displaystyle \int_1^e u(x)v'(x)dx$
    $=[\dfrac{x^2ln(x)}{2}]_1^e-\displaystyle \int_1^e \dfrac{x^2}{2}\times \dfrac{1}{x}dx$
    $=\dfrac{e^2ln(e)}{2}-\dfrac{1^2ln(1)}{2}-\displaystyle \int_1^e \dfrac{x}{2}dx$ (rappel $ln(e)=1$ et $ln(1)=0$)
    $=\dfrac{e^2}{2}-\left[\dfrac{x^2}{4}\right]_1^e$
    $=\dfrac{e^2}{2}-\left(\dfrac{e^2}{4}-\dfrac{1^2}{4}\right)$
    $=\dfrac{e^2}{4}-\dfrac{1}{4}$

devoir nº 1291


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Devoir complet fin de chapitre primitives et intégrales

- recherche de primitives
- calculs d'intégrales et intégration par partie

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