1. Home
  2. chapitre 8 Géométrie dans l'espace
  3. exercice corrigé nº1342
PDF reservé aux abonnés
$ABCDEFGH$ est un cube de côté $a$ et $I$ et $J$ sont les milieux respectifs de $[AB]$ et $[CG]$.

  1. Calculer $\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{HG}$.

    Rappel de cours

    relation de Chasles

    $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

    Orthogonalité et produit scalaire

    Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, on a:
    $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.

    Aide

    $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{·IB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CJ}$

    Solution

    $\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{HG}$
    $=(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CJ}).\overrightarrow{HG}$
    $=\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{HG}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{HG}+\overrightarrow{CJ}.\overrightarrow{HG}$
    $=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{DC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CG}.\overrightarrow{HG}$
    $=\dfrac{1}{2}AB^2+0+0$ car $(AB)$ et $(BC) $ sont perpendiculaires et $(CG)$ et $(HG)$ sont perpendiculaires
  2. Calculer $\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{GB}$.

    Aide

    $\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CB}$

    Solution

    $\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{GB}$
    $=(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CJ}).(\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CB})$
    $=\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CJ}.\overrightarrow{GC} +\overrightarrow{IB}.\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CJ}.\overrightarrow{CB}$
    $=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{FB}+0+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CG}.\overrightarrow{GC} +\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CG}.\overrightarrow{CB}$
    $=0+0-\dfrac{1}{2}GC^2 +0-BC^2+0$
    $=-\dfrac{a^2}{2}-a^2$
    $=-\dfrac{3}{2}a^2$
  3. En déduire $\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{HB}$

    Aide

    On peut décomposer $\overrightarrow{HB}=\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{CB}$

    Solution

    $\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{HB}$
    $=\overrightarrow{IJ}.(\overrightarrow{HG}+\overrightarrow{GB})$
    $=\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{HG}+\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{GB}$
    $=\dfrac{a^2}{2}-\dfrac{3}{2}a^2$
    $=-a^2$

devoir nº 1350


Vous pouvez retourner sur le devoir après avoir vu cet exercice

Position relatives de droites et pans, produit scalaire

- position relative de droites et plans
- produit scalaire et vecteurs orthogonaux
- constructions d'intersections

infos cours

| 60mn

retour sur le devoir