MATHS-LYCEEDans chaque cas, écrire le complexe $z$ sous forme algébrique.
- $z=\dfrac{1}{1+i}$
conjugué d'un complexe
Soit $z=a+ib$ un complexe avec $a$ et $b$ réels.
Le conjugué de $z$ noté $\overline{z}$ est le compexe $\overline{z}=a-ib$Suppression des complexes au dénominateur
Pour écrire un nombre complexe sans complexes au dénominateur, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
En effet $(a+ib)(a-ib)=a^2-iab+iba-i^2b^2=a^2+b^2$
soit $z\overline{z}=a^2+b^2$
Exemple:
$z=\dfrac{2+3i}{1-2i}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{1+4}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{5}$Il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué de $1+i$
Si $z=x+iy$ alors $z~~\overline{z}=x^2+y^2$$z=\dfrac{1}{1+i}$
$\phantom{z}=\dfrac{1-i}{(1+i)(1-i)}$
$\phantom{z}=\dfrac{1-i}{1^2+1^2}$
$\phantom{z}=\dfrac{1-i}{2}$
$\phantom{z}=\dfrac{1}{2}-i\dfrac{1}{2}$
penser à contrôler avec la calculatrice (OPTION puis CPLX pour avoir le nombre $i$)
- $z=\dfrac{i+1}{2-i}$
Il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué de $2-i$ soit $2+i$$z=\dfrac{i+1}{2-i}$
$\phantom{z}=\dfrac{(i+1)(2+i)}{(2-i)(2+i)}$
$\phantom{z}=\dfrac{2i+i^2+2+i}{2^2+1^2}$
$\phantom{z}=\dfrac{3i-1+2}{5}$
$\phantom{z}=\dfrac{1}{5}+i\dfrac{3}{5}$
penser à contrôler avec la calculatrice - $z=\dfrac{2i}{3-2i}$
Il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué de $3-2i$$z=\dfrac{2i}{3-2i}$
$\phantom{z}=\dfrac{2i(3+2i)}{(3-2i)(3+2i)}$
$\phantom{z}=\dfrac{6i+4i^2}{3^2+2^2}$
$\phantom{z}=\dfrac{-4+6i}{13}$
$\phantom{z}=\dfrac{-4}{13}+i\dfrac{6}{13}$
penser à contrôler avec la calculatrice
devoir nº 1475
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Devoir complet fin de chapitre
- conjugué et forme algébrique d'un quotient
- équations avec des complexes
- recherche d'un ensemble de points (modules égaux)
- suites et complexes (d'après BAC S)
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