MATHS-LYCEEOn considère l'équation $z^3-3z^2+4z-12=0$ dans $\mathbb{C}$.
- Montrer que $3$ est une solution.
- En déduire une factorisation de $z^3-3z^2+4z-12$
$z^3-3z^2+4z-12$ peut s'écrire sous la forme $(z-3)(az^2+bz+c)$
On peut développer $(z-3)(az^2+bz+c)$ puis identifier les coefficients de $P(z)$ pour obtenir trois équations d'inconnues $a$, $b$ et $c$.$3$ est une racine du polynôme $z^3-3z^2+4z-12$ donc on peut factoriser par $z-3$.
$(z-3)(az^2+bz+c)$.
$=az^3+bz^2+cz-3az^2-3bz-3c$
$=az^3+(b-3a)z^2+(c-3b)z-3c$
et on a $az^3+(b-3a)z^2+(c-3b)z-3c=z^3-3z^2+4z-12$ donc par identification des coefficients:
$\begin{cases} a=1~~\text{identification du coefficient de }z^3\\ b-3a=-3~~\text{identification du coefficient de }z^2\\ c-3b=4~~\text{identification du coefficient de }z\\ -3c=-12~~\text{identification de la constante} \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} a=1\\ b=-3+3\\ c=4+3b\\ c=4 \end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} a=1\\ b=0\\ c=4\\ c=4 \end{cases}$
- En déduire les solutions de $z^3-3z^2+4z-12=0$
Équation du second degré
$a$ est un réel.
L'équation $z^2=a$
- admet deux solutions réelles si $a>0$
Ces solutions sont $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.
- admet deux solutions complexes imaginaires pures si $a<0$
Ces solutions sont $i\sqrt{a}$ et $-i\sqrt{a}$.Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul$z^3-3z^2+4z-12=0 \Longleftrightarrow (z-3)(z^2+4)=0 \Longleftrightarrow z=3$ ou $z^2=-4 \Longleftrightarrow z=3$ ou $z=2i$ ou $z=-2i$
devoir nº 1474
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Devoir complet fin de chapitre
- forme trigonométrique et exponentielle
- argument d'un quotient
- équation du second degré et factorisation d'un polynôme
- recherche d'un ensemble de points
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