MATHS-LYCEELe plan est muni d'un repère orthonormé et on donne le point $A$ d'affixe $z_A=2i$
A tout point $M$ d'affixe $z\neq 2i$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z'=\dfrac{z}{z-2i}$.
- On pose $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels et $z\neq 2i$ soit $(x;y)\neq (0;2)$.
Exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de $z'$ en fonction de $x$ et $y$.Suppression des complexes au dénominateur
Pour écrire un nombre complexe sans complexes au dénominateur, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
En effet $(a+ib)(a-ib)=a^2-iab+iba-i^2b^2=a^2+b^2$
soit $z\overline{z}=a^2+b^2$
Exemple:
$z=\dfrac{2+3i}{1-2i}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{1+4}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{5}$On a $z'=\dfrac{x+iy}{x+iy-2i}=\dfrac{x+iy}{x+i(y-2)}$
Il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué de $x+i(y-2)$ soit $x-i(y-2)$$z'=\dfrac{x+iy}{x+iy-2i}$
$\phantom{z'}=\dfrac{x+iy}{x+i(y-2)}$
$\phantom{z'}=\dfrac{(x+iy)(x-i(y-2))}{(x+i(y-2))(x-i(y-2))}$
$\phantom{z'}=\dfrac{x^2+ixy-ix(y-2)-i^2y(y-2)}{x^2+(y-2)^2}$
$\phantom{z'}=\dfrac{x^2+ixy-ix(y-2)+y(y-2)}{x^2+(y-2)^2}$
$\phantom{z'}=\dfrac{x^2+y(y-2)+i(xy-x(y-2))}{x^2+(y-2)^2}$
$\phantom{z'}=\dfrac{x^2+y^2-2y+i(xy-xy+2x)}{x^2+(y-2)^2}$
$\phantom{z'}=\dfrac{x^2+y^2-2y+i2x}{x^2+(y-2)^2}$
- Déterminer l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ tels que $M'$ appartienne à l'axe des abscisses.
$M'$ a pour affixe $z'=x'+iy'$ et $M'$ appartient à l'axe des abscisses si et seulement si $y'=Im(z')=0$
on doit avoir $z\neq 2i$ soit $M\neq A$$M'$ appartient à l'axe des abscisses si son ordonnée est nulle à savoir $Im(z')=0$.
Pour tout complexe $z\neq 2i$, on a:
$Im(z')=0 \Longleftrightarrow \dfrac{2x}{x^2+(y-2)^2}=0 \Longleftrightarrow x=0$
Le point $A$ d'affixe $2i$ a pour coordonnées $A(0;2)$.
- Déterminer l'ensemble $\mathcal{E}_1$ des points $M$ tels que $M'$ appartienne à l'axe des ordonnées.
Équation d'un cercle
Dans un repère orthonormé, le cercle de centre $C(x_C;y_C)$ et de rayon $r$ a pour équation $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2$$M'$ a pour affixe $z'=x'+iy'$ et $M'$ appartient à l'axe des ordonnées si et seulement si $x'=Re(z')=0$
on doit avoir $z\neq 2i$ soit $M\neq A$$M'$ appartient à l'axe des ordonnées si son abscisse est nulle à savoir $Re(z')=0$.
$Re(z')=0 \Longleftrightarrow \dfrac{x^2+y^2-2y}{x^2+(y-2)^2}=0$
$\phantom{Re(z')=0}\Longleftrightarrow x^2+y^2-2y=0$
$\phantom{Re(z')=0}\Longleftrightarrow x^2+(y-1)^2-1=0$
$\phantom{Re(z')=0}\Longleftrightarrow x^2+(y-1)^2=1$
Le point $A$ de coordonnées $A(0;2)$ appartient à cet ensemble car $0^2+(2-1)^2=1$ et on a $z\neq z_A$
devoir nº 1474
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Devoir complet fin de chapitre
- forme trigonométrique et exponentielle
- argument d'un quotient
- équation du second degré et factorisation d'un polynôme
- recherche d'un ensemble de points
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