Un avion de ligne effectue des allers-retours entre Paris et Londres. La distance séparant les deux aéroports est de 400 km.
Il part à 10 h de Paris, s'arrête 1 heure à Londres et retourne ensuite à Paris.
Au retour, le vent est favorable et sa vitesse moyenne est alors augmentée de 30 kmh$^{-1}$.
Il atterrit à Paris à 12h30mn.
  1. Si on note $v$ sa vitesse moyenne en kmh$^{-1}$ et $t$ le temps de trajet en heures lors du trajet Paris-Londres, montrer que l'on doit avoir les équations:
    $E_1$: $400=vt$ et $E_2$: $400=(v+30)(1,5-t)$
    Rappel: la distance parcourue est égale au produit de la vitesse par le temps de parcours soit $d=v\times t$ aux unités utilisées
    Pour le trajet aller, la vitesse moyenne est $v$ et le temps de parcours $t$ donc on a:
    $400=vt$
    Pour le trajet retour, on a une vitesse moyenne $v'=v+30$ et le temps de parcours est $t'$.
    Le temps total est de 2h30mn avec une heure d'arrêt donc le temps total de vol est de 1h30mn.
    1h30mn correspond à 1h+$\dfrac{30}{60}=1,5$ heures.
    Le temps de vol retour est donc $t'=1,5-t$.
    on a donc $E_2$: $400=v't'=(v+30)\times (1,5-t)$
  2. Montrer que $t$ doit vérifier l'équation $6t^2+151t-120=0$.
    Isoler $v$ dans $E_1$ et le remplacer dans $E_2$.
    Développer et simplifier l'équation obtenue.
    $E_1 \Longleftrightarrow v=\dfrac{400}{t}$.
    En remplaçant $v$ dans $E_2$, on a:
    $400=(\dfrac{400}{t}+30)(1,5-t) \Longleftrightarrow 400=\left(\dfrac{400+30t}{t}\right)(1,5-t) $
    $\phantom{400=(\dfrac{400}{t}+30)(1,5-t)} \Longleftrightarrow 400=\dfrac{(400+30t)(1,5-t)}{t}$
    $\phantom{400=(\dfrac{400}{t}+30)(1,5-t)} \Longleftrightarrow 400=\dfrac{600-400t+45t-30t^2}{t}$
    $\phantom{400=(\dfrac{400}{t}+30)(1,5-t)} \Longleftrightarrow 400t=600-400t+45t-30t^2$
    $\phantom{400=(\dfrac{400}{t}+30)(1,5-t)} \Longleftrightarrow 400t-600+400t-45t+30t^2=0$
    $\phantom{400=(\dfrac{400}{t}+30)(1,5-t)} \Longleftrightarrow 30t^2+755t-600=0$ (on peut diviser les deux membres par 5)
    $\phantom{400=(\dfrac{400}{t}+30)(1,5-t)} \Longleftrightarrow 6t^2+151t-120=0$
  3. Montrer que pour tout réel $t$ on a $t^2+\dfrac{151}{6}t-20=\left( t+\dfrac{151}{12}\right)^2-\dfrac{25681}{144}$

    Identités remarquables


    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
    $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
    On peut développer $\left( t+\dfrac{151}{12}\right)^2-\dfrac{25681}{144}$
    $\left( t+\dfrac{151}{12}\right)^2-\dfrac{25681}{144}$
    $=t^2+2\times t\times \dfrac{151}{12}+\dfrac{151^2}{12^2}-\dfrac{25681}{144}$
    $=t^2+\dfrac{151}{6}t+\dfrac{22801}{144}-\dfrac{25681}{144}$
    $=t^2+\dfrac{151}{6}t-\dfrac{2880}{144}$
    $=t^2+\dfrac{151}{6}t-20$
  4. En déduire la solution du problème posé arrondie à la minute près.
    On peut diviser les termes de $6t^2+151t-20=0$ par $6$
    On peut factoriser en utilisant la troisième identié remarquable $\left( t+\dfrac{151}{12}\right)^2-\sqrt{\dfrac{25681}{144}}^2$
    On doit résoudre $6t^2+151t-120=0$ soit $t^2+\dfrac{151}{6}t-20=0$ en divisant tous les termes par $6$.
    $t^2+\dfrac{151}{6}t-20=0$
    $\Longleftrightarrow \left( t+\dfrac{151}{12}\right)^2-\dfrac{25681}{144}=0$
    $\Longleftrightarrow \left( t+\dfrac{151}{12}\right)^2-\sqrt{\dfrac{25681}{144}}^2=0$
    $\Longleftrightarrow \left( t+\dfrac{151}{12}-\sqrt{\dfrac{25681}{144}}\right)\left( t+\dfrac{151}{12}+\sqrt{\dfrac{25681}{144}}\right)=0$ (troisième identité remarquable avec $a=t+\dfrac{151}{12}$ et $b=\sqrt{\dfrac{25681}{144}}$
    $\Longleftrightarrow t+\dfrac{151}{12}-\sqrt{\dfrac{25681}{144}}=0$ ou $t+\dfrac{151}{12}+\sqrt{\dfrac{25681}{144}}=0$
    $\Longleftrightarrow t=-\dfrac{151}{12}+\sqrt{\dfrac{25681}{144}}$ ou $t=-\dfrac{151}{12}-\sqrt{\dfrac{25681}{144}}$
    or $-\dfrac{151}{12}-\sqrt{\dfrac{25681}{144}}$ est négatif (somme de deux nombres négatifs) et $t$ est un temps donc positif
    donc $t=-\dfrac{151}{12}+\sqrt{\dfrac{25681}{144}}=-\dfrac{151}{12}+\dfrac{\sqrt{25681}}{12}=\dfrac{-151+\sqrt{25681}}{12}$ heures
    soit $\dfrac{-151+\sqrt{25681}}{12}\times 60\approx 46,26$mn


    Avec le MENU équation de la calculatrice, en sélectionnant POLY puis degré 2 et en saisissant les coefficients $a=6$, $b=151$ et $c=-20$ de l'équation $6t^2+151t-20=0$, on peut contrôler la solution obtenue.

devoir nº 221


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Devoir complet fin de chapitre

- résolution d'équations
- équation et factorisation
- système d'équations
- problème de distances et vitesses

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