$\dfrac{2}{3}x+1 < \dfrac{1}{2}$
$\Longleftrightarrow \dfrac{4}{6}x+\dfrac{6}{6} < \dfrac{3}{6}$ (on multiplie les deux membres par $6$)
$\Longleftrightarrow 4x+6 <3$
$\Longleftrightarrow 4x<3-6$
$\Longleftrightarrow 4x<-3$
$\Longleftrightarrow x<\dfrac{-3}{4}$

$x < \dfrac{-3}{4}$ soit $S=\left]-\infty;\dfrac{-3}{4}\right[$
Remarque Sans éliminer les fractions au départ, on a:
$\dfrac{2}{3}x+1 < \dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}x< \dfrac{1}{2}-1$
$\Longleftrightarrow \dfrac{2}{3}x< \dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{2}$
$\Longleftrightarrow \dfrac{2}{3}x<\dfrac{-1}{2}$
$\Longleftrightarrow x<\dfrac{-1}{2}\times \dfrac{3}{2}$
$\Longleftrightarrow x<\dfrac{-3}{4}$

$\dfrac{1}{2}x-\dfrac{3}{4}\geq \dfrac{2}{3}$
$\Longleftrightarrow \dfrac{6}{12}x-\dfrac{9}{12}\geq \dfrac{8}{12}$
$\Longleftrightarrow 6x-9\geq 8$ (on multiplie les deux membres par 12)
$\Longleftrightarrow 6x\geq 17$
$x\geq \dfrac{17}{6}$ soit $S=\left[\dfrac{17}{6};+\infty\right[$