MATHS-LYCEEOn donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-4x^2+2x+5$ et de la droite $(d)$ d'équation $y=-6x+8$.
- Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x)>-6x+8$
- Montrer que résoudre l'inéquation $-4x^2+8x-3>0$ revient à déterminer les abscisses des points de la parabole situés au-dessus de la droite.
- Montrer que pour tout réel $x$ on a $-4x^2+8x-3=-4(x-1)^2+1$
Identités remarquables
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
On peut partir du membre de droite $-4(x-1)^2+1$ et essayer de développer l'expression obtenue$-4(x-1)^2+1=-4(x^2-2x+1)+1=-4x^2+8x-4+1=-4x^2+8x-3$
- Résoudre alors l'inéquation $f(x)>-6x+8$.
Signe de $ax+b$
Deux cas possibles:
Il faut finalement résoudre l'inéquation $-4(x-1)^2+1>0$
Il faut factoriser $1-4(x-1)^2$ en utilisant la troisième identité remarquable puis dresser un tableau de signes$-4(x-1)^2+1=1-4(x-1)^2$
$\phantom{-4(x-1)^2+1}=1-(2(x-1))^2$
$\phantom{-4(x-1)^2+1}=1-(2x-2)^2$
$\phantom{-4(x-1)^2+1}=(1-(2x-2))(1+(2x-2))$ (troisième identité remarquable avec $a=1$ et $b=2x-2$
$\phantom{-4(x-1)^2+1}=(1-2x+2)(1+2x-2)$
$\phantom{-4(x-1)^2+1}=(-2x+3)(2x-1)$
En utilisant les calculs précédents, on a:
$f(x)>-6x+8 \Longleftrightarrow -4x^2+8x-3>0 \Longleftrightarrow (-2x+3)(2x-1)>0$
$-2x+3=0 \Longleftrightarrow -2x=-3 \Longleftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$
$-2x+3$ s'annule donc pour $x=\dfrac{3}{2}$
$2x-1=0 \Longleftrightarrow 2x=1 \Longleftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$
$2x-1$ s'annule pour $x=\dfrac{1}{2}$
On a donc $(-2x+3)(2x-1)>0$ pour $x\in \left]\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}\right[$.
On retrouve les valeurs lues graphiquement à la question 1.
devoir nº 283
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Devoir complet fin de chapitre
- inéquations et tableaux de signes (produit quotient)
- inéquation et interprétation graphique (fonctions et signe)
- problème avec mise en inéquation menant au signe d'un produit
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