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  2. chapitre 7 Géométrie, vecteurs et coordonnées
  3. exercice corrigé nº368
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Dans le plan muni d'un repère orthonormé, déterminer dans chaque cas si les points A, B et C sont alignés
  1. $A(3;5)$, $B(-2;1)$ et $C(4;2)$

    Rappel de cours

    Coordonnées d'un vecteur défini par deux points

    Si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ alors $\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)$ (coordonnées du second point $-$ coordonnées du premier point)

    Critère de colinéarité dans un repère

    Dans un repère du plan, $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{w}(x'y')$ non nuls sont colinéaires si et seulement si $xy'-x'y=0$

    Aide

    Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ pour déterminer si les deux vecteurs sont colinéaires
    Les trois points A, B et C sont alignés si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$(ou bien $\overrightarrow{BC}$) sont colinéaires

    Solution

    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=-2-3=-5 \\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=1-5=-4 \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{AB}(-5;-4)$

    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AC}}=x_C-x_A=4-3=1 \\ y_{\overrightarrow{AC}}=y_C-y_A=2-5=-3 \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{AC}(1;-3)$

    $ x_{\overrightarrow{AB}}y_{\overrightarrow{AC}}-y_{\overrightarrow{AB}}x_{\overrightarrow{AC}}=(-5)\times (-3)-(-4)\times 1=19$
    donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires

    Penser à placer les points dans un repère pour contrôler le résultat obtenu par le calcul.
  2. $A(2;-6)$, $B(-1;3)$ et $C(1;-3)$

    Solution

    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=-1-2=-3 \\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=3-(-6)=9 \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{AB}(-3;9)$

    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AC}}=x_C-x_A=1-2=-1 \\ y_{\overrightarrow{AC}}=y_C-y_A=-3-(-6)=3 \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{AC}(-1;3)$

    $x_{\overrightarrow{AB}}y_{\overrightarrow{AC}}-y_{\overrightarrow{AB}}x_{\overrightarrow{AC}}=(-3)\times 3-9\times (-1)=-9+9=0$
    donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires

    Penser à placer les points dans un repère pour contrôler le résultat obtenu par le calcul.

devoir nº 384


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Vecteurs et coordonnées d'un vecteur

- coordonnées d'un vecteur
- vecteurs égaux dans un repère (déterminer le quatrième sommet d'un parallélogramme)
- points alignés et vecteurs colinéaires

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| 60mn

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