MATHS-LYCEE$ABCD$ est un parallélogramme et les points E et F sont définies par les relations
$\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DF}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$
- Construire la figure en plaçant tous les points de l'énoncé
Produit d'un vecteur par un réel
Soit un réel $k\neq 0$ et un vecteur $\overrightarrow{u}\neq \overrightarrow{0}$
Le produit de $k$ par le vecteur $\overrightarrow{u}$ est le vecteur $k\overrightarrow{u}$ tel que:
$k\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{u}$ ont la même direction
$k\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{u}$ ont le même sens si $k>0$ et des sens contraires si $k <0$
$||k\overrightarrow{u}||=|k| \times ||\overrightarrow{u}||$
Si $k=0$ ou $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ alors $k\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$Pour construire le point $E$, il faut effectuer la translation de vecteur $3\overrightarrow{AB}$ en partant du point $A$
Pour construire le point $F$, il faut effectuer la translation de vecteur $\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ en partant du point $D$Le point $E$ est l'image du point $A$ par la translation $3\overrightarrow{AB}$
Le point $F$ est l'image du point $D$ par la translation $\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}$
- Montrer que $\overrightarrow{CF}=-\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}$
On peut écrire $\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DF}$$\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DF}$
$\phantom{\overrightarrow{CF}}=-\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$
$\phantom{\overrightarrow{CF}}=-\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}$
- Exprimer $\overrightarrow{CE}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$.
On peut écrire $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BE}$$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BE}$
$\phantom{\overrightarrow{CE}}=-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}$
$\phantom{\overrightarrow{CE}}=-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BA}+3\overrightarrow{AB}$
$\phantom{\overrightarrow{CE}}=-\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AB}$
$\phantom{\overrightarrow{CE}}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$
- En déduire que les points $C$, $E$ et $F$ sont alignés.
Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs non nuls $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{w}$ sont colinéaires si et seulement si il existe un réel $k\neq 0$ tel que $\overrightarrow{w}=k\overrightarrow{u}$
Remarque
Deux vecteurs colinéaires ont donc la même directionIl faut montrer que les vecteurs $\overrightarrow{CE}$ et $\overrightarrow{CF}$ par exemple sont colinéaires$-2\overrightarrow{CF}=-2(-\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD})=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CE}$
donc les vecteurs $\overrightarrow{CF}$ et $\overrightarrow{CE}$ sont colinéaires
devoir nº 385
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Contrôle fin de chapitre vecteurs et coordonnées
- relation de Chaslers
- coordonnées d'un vecteur
- critère de colinéarité et points alignés
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