1. Home
  2. chapitre 2 Nombres premiers et divisibilité
  3. exercice corrigé nº565
PDF reservé aux abonnés
  1. Décomposer $7560$ et $3300$ en produit de facteurs premiers.

    Rappel de cours

    Décomposition en produit de facteurs premiers

    Tout nombre entier naturel peut se décomposer en un produit de facteurs premiers.
    Cette décomposition est unique (si on ne tient pas compte de l'ordre des facteurs).
    Méthode:
    -On divise le nombre par $2$ jusqu'à ce que ce ne soit plus possible
    -On divise par $3$ le nombre obtenu après les divisions par $2$ jusqu'à ce que ce ne soit plus possible
    - et ainsi de suite avec les nombres premiers pris dans l'ordre croissant.

    Solution

    Décomposition de $756$:


    Décomposition de $3300$:

  2. En déduire l'écriture de $\sqrt{3300}$ sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $a$ et $b$ entiers naturels.

    Rappel de cours

    Calculs avec des racines carrées

    $a$ et $b$ sont deux nombres réels positifs.
    - Produit
    $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$
    - Quotient
    $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ (avec $b\neq 0$)
    - Carré
    $\sqrt{a}^2=\sqrt{a^2}=a$

    Aide

    On peut utiliser les facteurs ayant une puissance paire (par exemple $\sqrt{2^2}=2$)

    Solution

    $3300=2^2\times 3\times 5^2\times 11$
    donc $\sqrt{3300}=\sqrt{2^2\times 3\times 5^2\times 11}$
    $~~~~~~=\sqrt{2^2}\times \sqrt{3}\times \sqrt{5^2}\times \sqrt{11}$
    $~~~~~~=2\times \sqrt{3}\times 5\times \sqrt{11}$
    $~~~~~~=10 sqrt{33}$
  3. Écrire la fraction $\dfrac{756}{3300}$ sous forme irréductible

    Rappel de cours

    Calculs avec les puissances

    $a$ et $b$ sont deux nombres réels et $n$ et $p$ deux entiers relatifs.
    - Produit
    $a^na^p=a^{n+p}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2^3\times 2^5=2^{3+5}=2^8$
    - Quotient
    $\dfrac{a^n}{a^p}=a^{n-p}$ ($a\neq 0)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\dfrac{2^3}{2^5}=2^{3-5}=2^{-2}$
    - Inverse
    $\dfrac{1}{a^p}=a^{-p}$ ($a\neq 0)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\dfrac{1}{2^5}=2^{-5}$
    - Exposants
    $\left(a^n\right)^p=a^{np}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\left(2^3\right)^5=2^{3\times 5}=2^{15}$

    Aide

    Il faut utilser les deux décompositions et $\dfrac{a^n}{a^p}=a^{n-p}$

    Solution

    $\dfrac{756}{3300}=\dfrac{2^2\times 3^3\times 7}{2^2\times 3\times 5^2\times 11}$
    $\phantom{\dfrac{756}{3300}}=\dfrac{2^{2-2}\times 3^{3-1}\times 7}{ 5^2\times 11}$
    $\phantom{\dfrac{756}{3300}}=\dfrac{2^0\times 3^2\times 7}{ 5^2\times 11}$
    $\phantom{\dfrac{756}{3300}}=\dfrac{63}{ 265}$

devoir nº 573


Vous pouvez retourner sur le devoir après avoir vu cet exercice

Nombres premiers et divsibilité

- utiliser les décompositions en facteurs premiers
- multiples d'un entier

infos cours

| 30mn

retour sur le devoir