MATHS-LYCEERésoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes:
penser à contrôler les résultats avec la calculatrice
- $2x^2-6x=-7$
Racines
Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
c'est à dire telles que $P(x)=0$.
$\Delta=b^2-4ac$
Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.Il faut se ranmener à la forme $ax^2+bx+c=0$$2x^2-6x=-7\Longleftrightarrow 2x^2-6x+7=0$
Ici, on a $a=2$, $b=-6$ et $c=+7$
$\Delta<0$ donc il n'y a aucune solution
- $(2x-1)^2=5-4x$
Identités remarquables
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
Développer le membre de droite
Se ramener à une équation de la forme $ax^2+bx+c=0$
On peut trouver les racines sans calculer $\Delta$ car le coefficient de $x$ est nul: $b=0$$(2x-1)^2=5-4x$
$\Longleftrightarrow 4x^2-4x+1=5-4x$
$\Longleftrightarrow 4x^2-4x+1-5+4x=0$
$\Longleftrightarrow 4x^2-4=0$
$\Longleftrightarrow x^2=1$
$\Longleftrightarrow x=\sqrt{1}=1$ ou bien $x=-\sqrt{1}=-1$
Les solutions de l'équation sont $x_1=1$ et $x_2=-1$
- $(2x+1)^2=1-(3x+2)^2$
Identités remarquables
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
Développer le membre de droite
Se ramener à une équation de la forme $ax^2+bx+c=0$
Calculer $\Delta$ puis les racines éventuelles$(2x+1)^2=1-(3x+2)^2 \Longleftrightarrow 4x^2+4x+1=1-(9x^2+12x+4)$
$\phantom{(2x+1)^2=1-(3x+2)^2} \Longleftrightarrow 4x^2+4x+1=1-9x^2-12x-4$
$\phantom{(2x+1)^2=1-(3x+2)^2} \Longleftrightarrow 4x^2+4x+1-1+9x^2+12x+4=0$
$\phantom{(2x+1)^2=1-(3x+2)^2} \Longleftrightarrow 13x^2+16x+4=0$
Ici $a=13$, $b=16$ et $c=4$
$\Delta=b^2-4ac=(16)^2-4\times 13\times 4=48$
$\Delta>0$ donc il y a deux solutions :
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-16-\sqrt{48}}{26}=\dfrac{-16-\sqrt{16\times 3}}{26}=\dfrac{-16-4\sqrt{3}}{26}=\dfrac{4(-4-\sqrt{3})}{26}$
soit $x_1=\dfrac{2(-4-\sqrt{3})}{13}=\dfrac{-8-2\sqrt{3}}{13}$
et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-16+\sqrt{48}}{26}=\dfrac{-16+4\sqrt{3}}{26}=\dfrac{-8+2\sqrt{3}}{13}$
Les solutions de l'équation sont $x_1=\dfrac{-8-2\sqrt{3}}{13}$ et $x_2=\dfrac{-8+2\sqrt{3}}{13}$
Penser à vérifier les solutions avec le MENU EQUATION de la calculatrice.
devoir nº 663
Vous pouvez retourner sur le devoir après avoir vu cet exercice
Devoir application directe du cours
- forme canonique et variations
- équations du second degré
- déterminer la fonction à partir du graphique
infos cours
| 30mn